— 403 — 

 ed eliminando le quantità 2 i s , 2 % , 2 i'i" per mezzo delle precedenti (42) e (43) 

 si ottengono le equazioni 



(44) 2 i" s = s 9 — 1 — (1 ■+■ v), 2 i" = 3 (^ -l) + (l+j)) 



che equivalgono alle 



(45)2 = — 2, 2 = -(1 + ,), 



le quali definiscono la predetta linea C sa . 



Combinando la (43) colla prima delle (44) per via di addizione, si ottiene an- 

 che 1' equazione 



v 



ii" = ns — 2—2' 



che è la seconda delle equazioni (38) : e quindi posta quest' ultima equazione uni- 

 tamente alle (45) e posto i r ' -t- i r " = i r , r = 1, 2,..., £, si potrebbe risalire alle 

 (39) e (40): ond' è che se fosse data una soluzione (i n i g: .~, i) delle equazioni 

 (34) e si trovasse una linea C sa dell' ordine s e del genere a con punti multipli 

 secondo numeri ?'/' , i s " ,... che soddisfacessero le equazioni (45) e la seconda delle 

 (39), e fosse anche s > «, i r " <C i r , /• = 1, 2,..., t] ciascuna linea della rete sa- 

 rebbe il sistema della linea C s3 variabile e di una curva fissa C m razionale del- 

 l' ordine w, avente, nei punti base della rete, punti multipli secondo i' t , i ' ,..., 

 essendo i numeri m, ij , i s ' ,... determinati dalle condizioni (41). 



31. Estendendo ora immediatamente alle reti le proprietà dei fasci di linee 

 complesse nei quali ogni linea del fascio comprende una o più curve ripetute cia- 

 scuna più volte (n. 25) si hanno i seguenti teoremi : 1.° Se una soluzione L n . t delle 

 equazioni (34) è formata da un sistema di h curve eguali C mì di k curve eguali 

 C p , ecc. e di una linea variabile C^ , le curve C m , C , ecc. sono curve razionali 

 (n. 19): 2." Se la soluzione L n v è formata di ti curve eguali CJ , di ti' curve eguali 

 C m »i ecc. di k curve Cp-, G 9 -> ,..: diverse 1' una dall'altra e di una curva varia- 

 bile C s3 , le intersecazioni fra loro delle curve C„ r , C„ r - , ecc; le intersecazioni fra 

 loro delle curve C p -, G p .. , ... e di ciascuna di queste con ciascuna delle C m . , (?„,.., ecc. 

 e colla curva variabile C sa cadono tutte nei punti base della rete, ma le curve 

 (C"' m )' , (C'\J" i ecc. sono intersecate dalla curva variabile C s3 fuori della base della 

 rete in (ti — 1) : 2 , (ti' — 1): 2, ecc. punti multipli secondo ti , A", ecc. rispet- 

 tivamente (n. 20): 3." Nella soluzione L nV Y ordine di una curva fissa ripetuta 

 li >> 1 volte non può mai superare il numero (n — 4): h (n. 15): 4" Comunque 

 sia formata la linea complessa L H , n la linea variabile passa per tutti i punti base 

 della rete (n. 21): 5.° Se la linea complessa L, iV comprende una curva C m dell'or- 



