— 406 — 

 Combinando per via di addizione la (52) colla prima delle (53) si ottiene 



(55) 2m" = sn — 1 — (v -h h) — ~~ } , 



ù 



e ciò prova che se essendo data una soluzione (i ± , i s ,..., ij delle equazioni (34) 

 si trovasse una linea C sa con punti multipli secondo numeri «'_/', i»" ,..., i," che sod- 

 disfacessero le equazioni (54) e (55) e fosse anche s < n, i" <C i , r = 1, 2,..., t, 

 ciascuna linea della rete determinata dalla soluzione data sarebbe il sistema della 

 linea C sa variabile e di h linee razionali eg'uali C h m dell' ordine m ciascuna e con 

 punti multipH secondo «'/, i s ',..., essendo i numeri m, «'/, i s ' r .. determinati dalle 

 equazioni (50). 



33. Applicheremo le formule (48) a risolvere una questione che è analoga a 

 quella del (n. 23). 



E data una soluzione 



(i t , »,,..., *,) 



delle equazioni (34) : si vuol sapere se le linee della rete determinata dalla solu- 

 zione data sono linee semplici o linee complesse, e nel caso fossero linee com- 

 plesse, quali linee semplici concorrano a formarle. 



Si esamini se fra le curve razionali dell' ordine m < (n — 3): 2 (n. 27. 2.°) 

 sia qualche curva C m che possa adempiere la prima delle condizioni (48 , e ciò 

 si faccia coli' ordine indicato nel (n. 23), incominciando, cioè, dal considerare la 

 linea retta, poi la curva di 2.° ordine, poi quella di 3.° ordine, indi quelle di 4." 

 ordine ecc. Se non si trova così nessuna ciu-va C m che possa soddisfare la pre- 

 detta equazione (48), si concluderà che le linee L nV della rete sono linee semplici; 

 se si trovasse una curva che somministrasse 1' equazione 



(56) ~2iii = mn -+- r, 



si sarà certi che le linee L, ty sono linee complesse e ciascuna è formata dalla 

 curva C m fissa ripetuta h = 2r — 1 volte e da un' altra linea variabile C f3 del- 

 l' ordine s e del genere a definita dalle equazioni (54), ossia che 



L„ v = C'\ n . C s3 , fan -+- s = n, a = v •+■ li. 



La linea variabile C ss potrebbe poi essere o una curva o una linea complessa: in 

 ogni caso pei-ò soddisferà le equazioni (53) che si riducono alle (34) col cambiarvi 

 v -+- 1 in v. Si potrà dunque far uso del metodo ora indicato per iscoprire se la 

 linea C sa sia una linea semplice ovvero una linea complessa, e in quest' ultimo 



