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 La prima delle (1) si riduce alla seguente 



S\.„ = 



x r — x n + l 



Itr 



X 



Nelli seconda delle (1) 



r=n—l 



sostituendo per # iir+i il valore dato dalla precedente, si ottiene 



^ = >L 1 —a; 



ed eseguendo le operazioni 2 



**«■ = ; I : « — ■ ; I 



1 — x L 1 — ar 1 — a; J 



e riducendo si ha 



(x r — x n+t ){x Y+t — a-"- 1 -') 



#.._ = 



(1 — x)(l — x*) 



in simile modo potremo operare per S 3v , S 4tr ..., affine di esprimerle mediante la x. 

 2. Ora vogliamo provare che in generale si avrà 



™ „ (x r — x n -*- 1 )(x'^ 1 — x n + { ) . . . (ar*-*- 1 — x n +*) 



(£) o = — : 



(1 — x)(l — a-°) ... (1 — x u ) 



infatti supponiamo vera questa formula per valori 1, 2, 3,..., u — 1 di u e dimo- 

 striamo che la medesima è pur vera per il valore u di u. lutante per questo va- 

 lore u di u la formula è vera per n = ?•-+- u — 1, riducendosi in tal caso il 

 secondo membro della medesima a 



(x r — a?'^"")(g H - i — x'^") . . . {x r + u - 1 — x'"*- u ) 

 (1 _ jjjiT^ 77.(1—*») 



