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 ossia a 



w *As • • ■ .*' 



mostriamo ora che la detta formula (2), se è vera per tale valore u di u e per 

 il valore n di », è pur vera per il valore n -+- 1 di «. Indichiamo con 5 , 1' espres- 

 sione S wr quando in essa si cangi la n in n -+- 1 ; avremo evidentemente 



8 = S -+- z"-*- 1 S , , 



e sostituendo in questa i valori di 8 wr , S u _ liy , che dalla (2) si deducono legitti- 

 mamente per le supposizioni fatte, abbiamo facendo le riduzioni 



_ g _ x n ^ 2 ){x r+i — or*-*) . . . (or*-*-* — x n + s ) 



— '— (1 — x)(\ — x' J ) . . . (1 — x u ) 



la quale formula mostra che la (2) è vera in generale. 

 Questa formula (2) può scriversi nel seguente modo 



_ ^ ~(2r-+-v. — l)u (1 23 ' )(1 X ) . . . (1 X ) 



""" ~~ X " "Ti — x)(\~— x s ) ... (1 — ~x u )~ 



3. Facciamo in questa r = 1 e poniamo 



(1 — x")(l — z"-'} ... (1 — x"- 11 * 1 ) 



<3) ^ = 



avremo 



(1 _ a?)(i _ a;^) . . . (i _ x u ) 



w ì u 



Il coefficiente di x p in S utI indica il numero dei modi, coi quali il numero p può 



ottenersi colla somma di u numeri differenti della serie 1, 2,... n ; tale numero di 



ì 

 modi è dato anche dal coefficiente di x v ~ £* ( " ' in T u . Noi appunto cercheremo 



il coefficiente di una certa potenza di x in T u e tale coefficiente indicherà in quanti 

 modi il numero dato da tale potenza accresciuta di — ti (u -+- 1) potrà ottenersi 



Li 



colla somma di «* differenti numeri della serie proposta. 



Passiamo ad applicare il teorema ora dimostrato ai casi, nei quali u sia eguale 



a 2, 3, 4. 



