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(8) e m % == m [/x . 



Questa quantità tende a zero con x, quantunque la densità ti sia infinita per x = 0. 

 § IV. Funzione potenziale d' un involucro ellissoidale omotetico. 



Abbiamo supposto, nel § II, che la massa M riempiesse tutto l' ellissoide E. 

 Questa supposizione può essere facilmente rimossa e sostituita da quella che la 

 detta massa occupi soltanto un involucro omotetico, per esempio quello compreso 

 fra 1' ellissoide E (fx = 0) e 1' ellissoide interno (yL = [L <T 1). Basta immagi- 

 nare che la funzione <p((/) sia variabile soltanto fra i limiti (.i = e fj, = yì , e 

 sia invece costante, e precisamente = <p({i'), fra i limiti fx — yì e ^4 = 1. In- 

 troducendo tale ipotesi nelle espressioni (4) e (4) y , esse convengono senz' altro al 

 caso del detto involucro. 



Ma se si vuole francarsi da ogni sottinteso, si modificheranno le suddette espres- 

 sioni nel modo seguente. 



Indichiamo con A' la radice maggiore dell'equazione y — y\ cioè dell'equazione 



S 2 2 



X V z 



(9) y' = 1 - 



a s -\- A b* •+- A c s -+- A 



Ogni valore di A maggiore di A' rende evidentemente il secondo membro mag- 

 giore del primo, e corrisponde quindi a valori di y compresi fra y ed 1. cioè 

 a valori di <fi(y) costanti ed = <fi{y). Ora per ogni punto (zyz) esterno ad E 

 la quantità A' riesce evidentemente maggiore di A t : scomponendo quindi l' inte- 

 grale V 1 in due, 1' uno esteso da A t a A', Y altro da A' a co, si ha 



T =. Tiabc I J- "' -+- nabc(p(y) I — 



J t/Fa) r ^ J v 



dA 



y/FU) J\/F{A) 



x x- 



i 



quale funzione potenziale dell' involucro omotetico nello spazio infinito esterno ad 

 esso. Per ogni punto (zyz) appartenente all' involucro stesso la quantità ?ì riesce 

 > 0, perchè per /l = 1' equazione (9) rappresenta la superficie interna dell' in- 

 volucro : scomponendo dunque 1' integrale V in due, 1' uno esteso da a A' r 

 V altro da A' a co, si ha 



'? 



V 0I = naie fmjt + nabctpW) f- d 



]/JB{A) J i/F{A) 



