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 Considerando dapprima il caso dei punti esterni, nel quale la funzione U diventa 



'-fi 



y.dX 



[/F{X) 



osserviamo che se in luogo di X si scrive X -+- X' , dove 



A t > x > _ c s 



t 



e se si pone 



i s -+- X' = d\ b s -h X' == b ,s , c s -+- X ~ c' s , 



V integrale U i , senza cambiare di valore, acquista la forma che avrebbe avuta 

 ab initio se 1' ellissoide omogeneo, invece d' essere quello di semi-assi a, è, e, fosse 

 stato quello di semi-assi a , è', e', fosse stato, cioè, uno qualunque degli ellissoidi 

 omofocali al primitivo pei quali il punto {xyz) è ancora punto esterno. Dunque 

 la funzione potenziale esterna d' una massa M è la stessa qualunque sia 1' ellis- 

 soide omofocale in cui questa massa è distribuita uniformemente, teorema celebre, 

 di cui le prime traccie risalgono a Maclaurik e che può essere ulteriormente ge- 

 neralizzato (§ VI). 



Da questo teorema si deduce molto facilmente che la funzione potenziale 

 esterna d' una massa M, distribuita uniformemente nell' involucro formato da due 

 ellissoidi omofocali, è indipendente dalla scelta di questi due ellissoidi ; e di qui 

 risulta nuovamente che se tale involucro, invece d' essere omogeneo, avesse una 

 densità variabile per istrati omofocali, la sua funzione potenziale esterna sarebbe 

 ancora indipendente dalla legge di variazione della densità e dipenderebbe sol- 

 tanto, per un dato punto esterno, dalla massa totale, proprietà che vale natural- 

 mente anche nel caso d' un ellissoide pieno. Dunque la stratificazione omofocale 

 non dà luogo, rispetto all' azione esterna, ad alcuna considerazione speciale. 



Merita però d' essere menzionato il caso dell' involucro omofocale infinitamente 

 sottile, che supporremo essere quello compreso fra 1' ellissoide J5 1 , di parametro /l i =0. 

 e 1' ellissoide omofocale infinitamente vicino, di parametro X t = dX. La massa 

 totale m di questo strato è data da 



m = — 7thd [/F (X) per X == 



ó 



