— 599 — 

 massa parziale m sono quantità indipendenti dalla scelta dell' ellissoide E che li- 

 mita la massa medesima, poiché le loro espressioni non contengono alcuna traccia 

 dei semi-assi a, b, e : questo ellissoide E può essere uno qualunque di quelli il cui 

 parametro varia fra e k t . Fissato che sia questo ellissoide, per esempio da /l = e, 

 la densità variabile k della massa M — m stratificata nel suo interno è determinata 

 dalla formola 



abe 



dove 



Po 





2 Sé 



x y z' 



B s 



,g 



x, y, z essendo le coordinate del punto cui la densità k si riferisce (*). 



Se invece della funzione potenziale esterna si volesse considerare 1' interna, 

 bisognerebbe assumere come limite inferiore dell' integrale il parametro dell' ellis- 

 soide E, cioè il valore e, nel caso or ora supposto. 



Poiché questo parametro di E può essere scelto arbitrariamente fra e À, n e 

 poiché quindi può essere preso piccolo quanto si voglia, si presenta naturalmente 

 la ricerca della distribuzione superficiale, sull' ellisse focale e, che possiede la stessa 

 funzione potenziale di ognuna delle distribuzioni ellissoidali equivalenti, che corri- 

 spondono agli altri valori del detto parametro. 



Per trovare questa distribuzione superficiale basta riportare, in base a ciò che 

 si disse nel § III, la massa di ciascuno degli strati omotetici elementari sulla cor- 

 rispondente ellisse focale, e calcolare la densità che ne risulta in ciascun punto 

 di e. Si può già concludere di qui che tale densità varierà per ellissi omotetiche 

 all' ellisse focale, poiché è evidente che le ellissi focali d' una serie d' ellissoidi 

 omotetici sono pure ellissi omotetiche. 



Passiamo dunque ad eseguire il detto riporto, incominciando dalla massa finita 

 ni, che si trova distribuita in equilibrio sulla superficie dell' ellissoide E. Dal § III 

 sappiamo già che riportando questa massa sulla superficie dell' ellisse e (contata 

 una volta sola), e ponendo 



(11) X=ZÌ ~ ! T s ~B :o (P<x<l) 



dove Xj y sono le coordinate d' un punto qualunque del disco focale, — talché, 

 (') Questa proposizione costituisce il teorema di Maclauein inteso nel suo significato più generale. 



