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La funzione (12) prende una forma elegante se si scrive A in luogo di A s , e 

 se si designano con A t , A 3 , A s le tre radici dell'equazione 



S 2 2 



x _ y z * 



A 9 -+-A B s -+- A A 

 giacché, essendo in tal caso 



(A 9 ■+- A)(B S -4- A) A h i = (A — A t )(A — A S )(A — A 3 ) 

 si può scrivere 



co 



vdA 



(12), W = — / 



x^-^)a-^) 



dove 



(12), *=1- ^ ^ 



Merita attenzione speciale il caso in cui il centro d' omotetia sia uno dei fuochi 

 dell' ellisse e, cioè in cui sia 



a = [/A 9 — 5% = 0, 

 •e quindi 



00 ■ x]/A 9 —B s - , xi/A s —B 9 



A s -±-A* m ! A'-hA 



^(A^A^-t-A 9 )^ = = V-S ^(A—AjiA—A^A—As) 

 i i 



Si sa infatti che, in ogni moto centrale, la velocità in un punto dell' orbita è sempre 

 inversa della distanza del centro di forza dalla tangente dell' orbita in quel punto: 

 quindi la precedente espressione di W è quella della funzione potenziale d' una 

 massa m distribuita, lungo il contorno dell' ellisse e, in ragione inversa della ve- 

 locità colla quale quest' ellisse sarebbe percorsa da un pianeta, se il centro del sole 

 fosse nel fuoco che si è assunto come centro d' omotetia. Questa distribuzione di 



