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qualora si ponga, come è lecito, 



(6) MQ — NP=l. 



La (5) esprime che le superficie considerate hanno nei punti corrispondenti la stessa 

 curvatura totale ; ma si vede subito che sussiste la proprietà inversa, vale a dire : 

 se due superficie, che si corrispondono per parallelismo delle normali, hanno eguale 

 la curvatura nei punti corrispondenti, la rappresentazione deve essere equivalente ; 

 cosicché ne concludiamo che i due problemi si possono sostituire l' uno all' altro. 



Supposta ora data la S, per ottenere la corrispondente superfìcie S^ dovremmo 

 procedere per mezzo delle (2) e della (6) alla determinazione delle quattro funzioni 

 M, N, P e Q e quindi, dopo averne sostituiti i valori nelle (1), eseguire le relative 

 quadrature ; ma potremo semplificare questi calcoli e ridurre il numero delle funzioni 

 incognite, se teniamo presente le proprietà sopraccennate della nostra rappresentazione, 

 quando si prescinda dalla condizione che essa sia equivalente. 



Si sa infatti che in tale ipotesi esiste sempre su ciascuna delle due superficie un 

 doppio sistema di linee (reali distinte, coincidenti o immaginarie) che conservano la 

 medesima direzione e che scelte a linee coordinate danno appunto le dette semplifica- 

 zioni, potendosi inoltre di tali sistemi in casi speciali aversene anche in numero 

 infinito (*). 



§ I- 



Tratteremo in questo il caso che le accennate direzioni siano reali e distinte e si 

 abbiamo corrispondentemente le formole : 



, , òcc. , oca doc, n ox, 



7) — i = iW— .... — ' — Q — a 



ou ou ov ùv 



che si ottengono dalle (1) facendo in esse N = P — 0, semplificandosi le (2) nelle 



(8) 



e la (6) nella 



M — Q oE dM oQ 



1 E - F—0 , 



2 ov dv ùu 



M—QÌG IM òQ 



2 ou ov ou 



MQ= 1 . 



Se ora fra questa e ciascuna delle precedenti eliminiamo la Q, avremo l'equazioni: 



M~ — 1 DE oM 1 oM 



Eh-— 2— -F=0, 



2M ov ov J M 2 ou 



(9) 



M- — 1 oG oM 1 oM 



F H 5 — G = 



2M ou ov M~ ou 



(*) Memoria citata. 



