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che dovrà verificare le (10) : nel primo caso avremo co 1 superfìcie £,, nel secondo una 

 sola le cui equazioni in termini finiti si otterranno integrando le (7) (*). 



Supposto che abbia luogo il caso (a) di illimitata integrabilità per le (10), poniamo 



12 | __~ò<p j 12 | __ ù(p 

 1 | — te"' i 2 j~~ "te ' 



sarà allora immediatamente soddisfatta la prima delle (a), mentre l'altra si ridurrà alla 



ò 2 <p _ i) 'ò(pù(p 



ùlldV te te ' 



da cui seguirà subito integrando 



essendo U e V due funzioni arbitrarie rispettivamente di u e di v. 



Ora, se osserviamo che il sistema delle linee coordinate che consideriamo è coniu- 

 gato su ciascuna delle superficie, giacche avendosi per la prima delle (2) 



(M—Q)D' = 0, 



sarà evidentemente D' = e quindi per la 2 a delle (4) anche D',= 0, le coordinate 

 dei punti delle superficie stesse saranno soluzioni dell'equazioni di Laplace 



M {12 1*0 Jl2|^_ r)> 



dwte \ 1 J te \ 2 ) òv 

 Nel nostro caso, se nessuna delle due funzioni U e V è costante, poiché allora 



12 ì V (l2) #' 



1 ) 2(17 -f- 7) ' ( 2 \ 2{U-*-Vy 



avremo 1' equazione 



ò 2 6 V' W U' W __ 



òuòv~*~ 2{U + V) te ~ t ~2(Z7-^F) Dv ~~°' 



ovvero, prendendo U e V come variabili, 



Z 2 l 30 l 30 



dUìiV ' 2(£7-f- 7) ÒZ7 2{U-+-V)~ÒV 



= 



l'equazione di Laplace E l— , -1 (***). 





(*) Cfr. Bianchi, Lezioni di Geometria differenziale, Voi. II, pag. 42. 



(**) V. Bianchi, 1. e, Voi. I, pag. 139. 



(***) V. Darboux, Legons sur la Théorie generale des surfaces, T. Ili, pag. 55. 



Serie VI. Tomo IX. 1911-12. 6* 



