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Se 7 è costante e non U, cangiando U in U -+- cost. avremo l' equazione 



ìwòv ~*~ 2U -òv ~ ° ' 



da cui si ricaverà subito l' integrale ; mentre se è costante anche V, sarà 



ì 2 



ÙIIÙV 







e si avranno le superficie di traslazione. 



Come applicazione delle nostre formule, supponiamo che il sistema coniugato, cui 

 intendiamo riferita la S, sia quello delle sue linee di curvatura. Dovendo allora essere 



F = 0, i simboli di Ch risto ffel avranno semplicemente i valori 



12 ) __ 1 c)log^ ( 12 ( _ l MogG 

 1 ]~2 3» ' j 2 ]~ 2 hi ' 



ed i coefficienti E, G dell'elemento lineare della S dovranno perciò soddisfare le due 

 equazioni 



, 4 tfiozE d 2 lo£(? DlogE ZlopG 



(11) 



foiòv 'òuòv ì)u dv 



cui si riducono le (a) in tale ipotesi. Considerando la prima, cioè 1" equazione 



ZHogE a 2 logG 



iu'òv òitàv 



questa esprime che le linee di curvatura della nostra superficie debbono formare un 

 sistema isotermo ; scegliendo per conseguenza i parametri isometrici, potremo porre 



E=G = À 



dove A dovrà determinarsi per mezzo dell'equazione 



ò 2 logA d log/3, cllog/l 

 àuàv àu ì>v 



che segue immediatamente dalle (11). Ora, poiché da questa si ricava per À il valore 



a (li) -+- @(v) 



essendo a{u), (3(v) due funzioni arbitrarie rispettivamente di u e di v, risulta quindi 

 che il quadrato dell' elemento lineare della superficie considerata, riferita alle sue linee 



