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 di curvatura, dovrà avere la forma 



, , die -+- elv 2 

 ds = 



a (u) -+- 8{v) ' 



Bisognerebbe ora vedere se effettivamente esistono superficie siffatte e in caso affer- 

 mativo determinarle ; ma senza entrare in tale questione, per quanto meritevole di 

 studio, ci limiteremo qui ad osservare che basta supporre a o 8 costanti per ottenere 

 le superficie di rotazione, le quali dunque godranno della proprietà che forma l'oggetto 

 della presente ricerca, essendo infinite le superfìcie che verranno a corrispondere ad 

 ognuna di esse. 



Passando ora al caso che le (a) non siano identicamente soddisfatte, e quindi le 

 superficie vengano a corrispondersi a coppie, avremo da integrare il sistema 



1 or o , w - 



2t T — 1 hi ou &v 



\ ox o i— 



= 1= Io ^, 



2(r — 1) ov òv 

 dal quale si ricava subito per t il valore 



VG 



ovvero, mutando i parametri, 



G . 



sostituendo quindi nella (b) avremo l' eguaglianza 



oHogG 3 



— ~ìogE—ìogG 

 G ouòv ov ou 



E ~~ a 8 log ff 5 5 



2— f \ og E—logG 



ouov ov ou 



cui dovranno soddisfare i coefficienti E, G dell' elemento lineare della superficie, essendo 

 u e v le sue linee di curvatura. 



Osservando che l'equazione è soddisfatta da 



E = sei\h 2 À , G = cos/r/l , 



denotando A una funzione di u e di v, pei raggi principali di curvatura r p r % della S 

 troveremo facilmente i valori 



— =cot/i/l, — tghÀ ; 

 r 2 r x 



