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potremo fra questa e ciascuna delle (24) eliminare a e giungeremo facilmente alle 



due relazioni : 



D DG 



/: 



du 

 J DE' du 



E 

 («) | ~D 



DE" du 



D"E 



e = V , 



s 



D" dE 7 

 — — dv 

 DG dv 



DG 



— e = U, 



D" 



indicando al solito U e V due funzioni arbitrarie rispettivamente di u e di v. Veri- 

 ficate queste condizioni per la superficie S, si avranno le coordinate dei punti della 

 corrispondente S x per mezzo delle (20) nelle quali ad JV e P siano sostituiti i loro 

 valori (23), essendo À determinata dalla (25). 



Osservando che D e D" debbono avere segni contrari, e per conseguenza la nostra 

 superficie essere a curvatura negativa, avremo 



e per le coordinate richieste : 



f/\ / D dx a / D Dx \ 



26 x, = ( A/ jr — du — A/ — dv ) , . . . 



K ' 1 .) \ V D" dv V D dw / ' 



denotando «?, ?/, a quelle della S. 



Come applicazione semplicissima di queste forinole supponiamo che la S sia una 

 superficie ad area minima riferita alle sue linee di curvatura u e v. Essendo allora 



E=G, D-+- D" —0, 



le (oc) saranno evidentemente soddisfatte; giacche basterà supporre U=V— — 1 e 

 si avranno le forinole : 



x i 



J( dx dx \ 



che definiscono, come subito si vede, una superficie minima S { coniugata in applica- 

 bilità alla 5, risultato facilmente prevedibile essendo noto che le superficie minime 

 coniugate in applicabilità si corrispondono appunto per paralielisme delle normali. 



Per secondo esempio prendiamo a considerare una superficie di rotazione di ele- 

 mento lineare 



ds 2 = du 2 -+- r 2 dv 2 , 



ove bisognerà determinare r in modo da verificare le (a) e precisamente la prima ; 

 giacche la seconda sarà sempre soddisfatta qualunque sia r. 



