— 58 — 

 Avendosi nel nostro caso 



= i/' = - r y 1 _ r F. J 



si troverà 1' equazione 



r(l--r") 



ì\2 



= V, 



ed essendo il primo membro funzione soltanto della u, dovrà essere V una costante che 

 indicheremo con k e quindi r verrà determinata dall' equazione differenziale 



kr" = r (l — r")~. 



Questa, prendendo r per variabile indipendente ed r per funzione incognita, potrà 

 scriversi sotto la forma 



hr'dr 



= rdr 



(l-r'7 



da cui, integrando, 



ove e è una nuova costante, e risolvendo rispetto ad r', 



dr a / A 



du V r~ -+- e 



da cui finalmente 



Jdr 

 - - V 1 k 



r + c 



avendo omessa la costante additiva ; mentre 



(28) t = t\]—?L dr 



sarà l'equazione della curva meridiana della superficie di rotazione voluta. 



Supposto per semplicità k = 1 , e = , si trova subito u = yr 2 — 1 ossia 

 r = yu 2 -+- 1 e quindi per equazione della curva meridiana la catenaria comune 



r = coshs ; 



la superficie di rotazione considerata sarà quindi il catenoide, che è una superficie ad 

 area minima com' è ben noto. 



Per ottenere l' equazioni della superficie corrispondente, si osservi che, poiché nel 

 nostro caso 



D= . 1 . D" = — 1, 



