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Questa nota vale a porre una volta di più in rilievo l'interesse del concetto di 

 convergenza in media di una successione, concetto introdotto da E. Fischer nel 

 1907 (*). 



1. È noto che una successione di funzioni f„(x), integrabili insieme ai loro quadrati 

 •ìeir intervallo 0... 1, si dice convergere in media ad una funzione f{x), pure inte- 

 grabile insieme al suo quadrato, allorquando, preso un numero positivo e piccolo a 

 piacere, vi è un corrispondente numero n tale che per n > ri sia 



X 



(/» — fn{?0)fdx < t . 



'0 



Ci proponiamo di studiare le proprietà delle funzioni <p(x), cui convergono in media 



m 



successioni della forma Jf rt ffl„(a;); diremo S a l'insieme di dette funzioni, ed eterne /ito 



i 

 di S x , una qualunque di esse. Allo spazio S a appartengono, in particolare, tutte le 



serie Vc„a„(.»;) uniformemente convergenti nell'intervallo 0... I. 

 i 

 2. Data una funzione f(x) integrabile insieme al suo quadrato, diremo primi coef- 

 ficienti (coefficienti di Fon r i er-H i 1 ber t generalizzati) di f(x) rispetto al sistema 

 associato (1) e (2), i numeri 



9n = I f\x)P n (x)dx, 



e secondi coefficienti di f{x), rispetto allo stesso sistema, i numeri 



9,1 = fi!») a n {x) dx . 



Ciò posto, consideriamo la <p{x), limite in media di una successione 



(5) <p m {pe) = 2 c„ a„ (•>•) , (»j =1,2,3,...)- 



n = i 



Presa una @ q {x), si ha 



;, 



i 



0l(a-) dx = v q ; 



si può ora prendere m tale che per m maggiore del più grande fra i numeri in e q, 

 £ essendo piccolo a piacere, sia : 



I (<p(x) — (p m {x)fdx<-. 

 ) r„ 



(') C. R. de l'Académie des Sciences de Paris, T. 144, p. 1022. 



