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 Si consideri ora 



ri 



si ha per la nota disuguaglianza di Schwarz: 



t\ < f ($(x) - <p m (x)fdx . C&\{x)da> < r, 



J J 



onde 



I tq | < e ; 



ma, per le (3), si ha : 



Jo 



onde, essendo I (p(x)8 q (x)dx e c f/ numeri finiti e determinati, essi devono essere 

 Jo 



uguali ; si ha dunque : 



(6) c q =j<p (x) (] q (x) dx, (q = 1 , 2, 3, . . .) . 



Talché « per ogni elemento di S aì i primi coefficienti dell'elemento stesso rispetto alle 

 « (1) e (2) sono i numeri c p c 2 ,... che figurano nella rispettiva successione (5). » 



3. Risulta dalle (6) che se è <fi(x) = in tutto 1' intervallo (*), è c q = 0, 

 (q = 1, 2, . . .); onde: « una successione (5) non può tendere in media a zero se 

 « non ne sono zero tutti i coefficienti, » e conseguentemente « un medesimo elemento 

 « di S x non può essere limite in media di due diverse successioni (5). » In partico- 

 lare, « lo zero non può essere rappresentato da uno sviluppo in serie di a n {x) unifor- 

 « memente convergente nell'intervallo 0... 1. » 



4-. Lo spazio S % è lineare. S'intende con ciò che se Cp(x) e ip(x) appartengono 

 ad S x , vi appartiene <p{x) -+- ip(x). Siano infatti rispettivamente 



m m 



2 c n a n {x) e ][] g»a n {x) 



\ i 



le successioni che convergono in media a (p(x) ed a ip(x). Preso e arbitrario, si può 

 assegnare un m tale che per m >■ m l sia ad un tempo : 



,.1 m ^1 ™ 



(7) (<p{x) — ^ c„a n {x)fdx < e , (#0») — 2 9nOL„{x)yda! 



Jo i Jo i 



<f; 



(') S' intende, all' infuori dei punti di un insieme di misura nulla. Non si ripeterà quind'innanzi 

 questa avvertenza. 



Serie VJ. Tomo IX. 1911-12. 7 



