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 è allora, per la citata disuguaglianza di Schwarz: 



j m in 



\J0 i i 



Considerando ora l'espressione 



f' 



(7 " ) \{jp (a?) -+- tp (a?) — 2 (°n ■+- 0») ««(^)) 8 *» , 



essa si decompone in tre parti, di cui la prima e la seconda, per la (7), sono inferiori 

 ad e per m > w , e la terza è, per la (7'), inferiore a 2e. La (7") è dunque, per 

 m >• m, inferiore a 4e, il che dimostra che la successione 



m 



S (r " ■+■ 0») a«(*) 



1 

 converge in media a <^(a?) -I- ip(x). 



5. Consideriamo ora una serie della forma 



dove le u n si suppongono scelte in modo da dare alla serie la convergenza uniforme 

 rispetto all'insieme delle due variabili, nel campo <! oc <Z 1, <C y < I. Assumendo 

 la funzione k(cc, y) come nucleo di un'operazione integrale 



(9) A[f)=jh{*,y)f(y)dy, 



questa è applicabile ad ogni funzione f(y) integrabile insieme al suo quadrato, e per 

 l' operazione .4 si hanno, come è noto, le seguenti proprietà : 



a) Il risultato dell'operazione A(f) e una serie delle forme 2/*„a„(a?), uniforme- 

 mente convergente nell'intervallo 0... 1. 



b) Le a n {x) sono elementi invarianti (Eigenfunktionen) dell' operazione A, e 

 gli u n ne sono i rispettivi numeri invarianti (Eigenwerthe). 



e, 



e) Se i numeri c n sono i primi coefficienti (n.° 2) di una funzione f(x), - - sono 



Un 



i primi coefficienti della funzione A{f). 



d) La A non può avere elementi invarianti diversi dagli a„(x), astrazione fatta 

 da un fattore costante, nel campo delle funzioni integrabili insieme ai loro quadrati, 

 ne numeri invarianti diversi dagli u„. 



L' operazione A ammette come operazione aggiunta, la 



(0 = | 



k (ce, y) f(x) dx , 



