— 65 — 



che gode di proprietà perfettamente analoghe, salvo il cambiamento delle oc,, in /?„ e 

 dei primi nei secondi coefficienti ; i numeri invarianti sono gli stessi u n . 



6. Ora, le stesse proprietà si estendono, senza essenziali modificazioni, a quelle 

 operazioni integrali il cui nucleo a(x, y), anziché da una serie uniformemente conver- 

 gente della forma (8), è limite uniforme in media di una successione 



co) 2^Aw, ( „, = ,, ,,3,...), 



operazioni che contengono come caso particolare quelle del n.° precedente. 



Poniamo, all' uopo, la seguente definizione. Una successione di funzioni di due 

 variabili 



(il) Pifay), p t fa y), ■■■ Pn(», y), ■■■ 



integrabili rispetto ad x e ad y insieme ai loro quadrati e per le quali valga 1' in- 

 versione delle integrazioni nel campo (0 <C x <C 1. <d y <C 1), si diranno convergere 

 in media uniformemente alla funzione, analogamente integrabile, <j(x, y) quando, preso 

 un numero e positivo piccolo a piacere, esiste un numero m tale che per ogni m > m 

 e per ogni x dell' intervallo ... 1 sia 



l 



ì 



(a(x, y) — p m (x, y)fdy < e 



e contemporaneamente, per ogni m > m ed ogni y dell' intervallo . . . 1 sia pure 



.i 

 (o(x, y) — p m {x, y)) 2 dx < e . 



o 



Si dirà anche che a(x, y) è limite uniforme in media della successione (11). 



f: 



7. Ciò posto, sia a(x, y) limite uniforme in media di una successione della forma (10), 

 e si consideri l'operazione integrale definita da 



{f)=j 1 o(v, 



(12) B(f)=ja(x,y)f(y)dy, 



la quale è applicabile ad una qualsiasi funzione f(y) integrabile insieme al suo qua- 

 drato; indisi prenda in esame l'espressione: 



(is) oja>) = CU*, y) - Il aÀX ] M ) M*v ■ 



JQ \ 1 U n 



D' una parte, si ha 

 (H) e m (x) = B(f)-X C -^W, 



