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essendo c n i primi coefficienti di f(y) ; d' altra parte, per la disuguaglianza di 

 Schwarz, è 



05» < (U*, V) ~ S a " {X) / n{y) )dy . Cf(y)dy ; 

 Jo \ i M n / Jo 



onde, per la convergenza uniforme in media delia (10), si può, preso un e piccolo 

 a piacere, trovare un ni tale che per m >- m } qualunque sia il valore di x Del- 

 l' intervallo ... 1, si abbia 



| m ipo) | < e . 



Riferendosi alla (14), questa disuguaglianza esprime che la serie 



_ c n a. ri (x) 

 ^ u 



l u, n 



è uniformemente convergente in quell' intervallo, ed ha per somma B{f). 



Segue ancora da ciò che essendo c„ i primi coefficienti di f, - - sono i corrispon- 



denti primi coefficienti di B(f). 

 Ne segue ancora che 



(15) B{an) = a ^ì i 



Un 



onde le a„ sono gli elementi, le u n i numeri invarianti di B, e si vede facilmente che 

 non ve ne possono essere altri. 



Talché, le proprietà riscontrate per le operazioni A si mantengono inalterate per 

 le B. Neil' ipotesi fatta la B ammette l' operazione aggiunta 



B (f) = I o{x, y) f{x) dx , 



dotata delle stesse proprietà, mutatis mutandis. 



La prima proprietà trovata per l'operazione B si può enunciare nei seguenti ter- 

 mini : ogni funzione che ammette la rappresentazione integrale 



O(po, y) f{y) dy , 



Jo 



è sviluppabile in serie uniformemente convergente procedente per le a n (x). 



8. Il prodotto di due operazioni B e un' operazione .4. 



Abbiansi infatti le due funzioni a(x, y), t(x, y) che siano « limiti uniformi in 

 ^ìedia » rispettivamente delle due successioni 



* a n (x)0„(y) * a n (x)8„(y) o 



L — > L — -i ( W = V2, 3, ...); 



