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siano B, 5, le operazioni integrali da esse definite, cioè quelle che ammettono rispettiva- 

 mente come nucleo la a e la x. L'operazione BB l sarà l'operazione integrale avente per 

 nucleo la funzione 



p(x, y) = i a{x, t)z{t,y)dt. 

 Jo 



Consideriamo ora T espressione 



*.l», y) = j fl (a(x, t) - 2 Un ) (t(t, y) - S — ^— ) «* ■ 



Si ha, d' una parte, tenuto conto delle (3) e delle relazioni del tipo (15) : 



a*0») n {y) 



dm{x, y) = p{a, y) — Y, 



] w n v n 



d'altra parte, in seguito all' ipotesi fatta su a e T, e mediante applicazione della 

 solita disuguaglianza di Schwarz, preso e piccolo a piacere, esiste una m tale 

 che per m > m e per tutte le coppie x, y del campo (0 <C a? <C }, < ?/ <C 1), 

 si ha : 



| £«(*, y) | < e • 



Ciò esprime che la serie 



~ «„(*) /?„(y) 



w», v~ 



è convergente uniformente nell' indicato campo di valori di x e di y, ed ha per 

 somma p(x,y); la proposizione enunciata è così dimostrata. 



9. Dal teorema precedente risulta ancora che la serie 



° a n {x) P„{oc) 



è convergente uniformemente nell'intervallo < x j< 1 ; integrando dunque rispetto 

 ad x fra ed 1, e tenuto conto delle (3), ne viene dimostrata la convergenza 

 della serie 



~ 1 



m aJx) 3 n (y) 

 In particolare, se le ^ — - — , (m = 1, 2,...), convergono uniformemente in 



media, la serie degli inversi dei quadrati di u„ è convergente. 



IO. L'operazione B è degenere se esiste qualche elemento 6(x) (integrabile insieme 

 al suo quadrato) tale che sia B(6) = ; d si dice allora radice di B. I procedimenti 



