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b) ad ogni elemento f[oc) per il quale esista una (p(pc) soluzione del sistema (16). 

 Questi elementi f(x) costituiscono uno spazio S u , evidentemente lineare, che è lo spazio 

 di applicazione della C u ; S u comprende per lo meno gli elementi di S x ad un numero 

 finito di termini. 



La determinazione della C u , nel suo spazio di applicazione, è unica se non esi- 

 stono elementi ortogonali a tutte ie @ n { x ), cioè se le operazioni del gruppo G non sono 

 degeneri (n.° 10). 



Per definizione, si ha 



C u (a n {x)) = " " ; 

 u n 



la C u ammette dunque le a„(x) come elementi invarianti, gli n„ come rispettivi numeri 

 invarianti. 



14. Siano date due operazioni C„, C v appartenenti alle successioni (u n ), (v„), di cui 

 S u , S v siano i rispettivi spazi d'applicazione; essendo C uv l'operazione appartenente 

 ad (u n v n ), S uv il suo spazio d'applicazioni, sia f(x) un elemento preso nello spazio 

 comune ad S u , S uv . La C u (f) apparterrà allora ad S v ; pertanto, la C V C U (/") avrà 

 senso, e sarà C vu (f) = C uv {f). 



Ne viene che le C u costituiscono un gruppo ; inoltre, per le f appartenenti allo 

 spazio comune ad S u , S v ed S nv , le C u , C v sono permutabili. 



Indicando con G il gruppo delle C u , G e, nel senso del Li e, un gruppo infinito; 

 le »j, u 2 , ...i<„, ... ne sono i parametri. Per sistemi di (u n ) soddisfacenti a speciali 

 relazioni di disuguaglianza si ottiene il sottogruppo G in G ; per relazioni di disu- 

 guaglianza più restrittive, si ottiene il sottogruppo di G formato dalle operazione A. 



Al gruppo G appartiene l' operazione unità, e 1' inversa di ogni sua operazione. 



15. Se nel gruppo G esiste effettivamente un'operazione del tipo B, cioè se esiste 

 una successione 



(in cui le — non siano nulle da un posto in poi) che sia uniformemente convergente 

 u n 



in media, di queste operazioni ne esisteranno infinite ed esisteranno quindi anche infinite 



operazioni A. Questo è sempre il caso se ciascuna delle a n {x) e @ n {y) è limitata nel- 



1' intervallo 0...1. In quest'ultimo caso, data una successione qualunque ('«„), si 



potrà sempre determinare una successione (v„) tale che le serie 



y a n { x)(3„( y) y a n (x) P n {ij) 



1 u n v ìì i v n 



siano uniformemente convergenti. Esse saranno pertanto i nuclei di due operazioni inte- 



