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 piano x un campo C tale che per ogni x contenuto in esso la ip(x, y) si mantenga 

 regolare per \y\ < r . L'integrale 



(3) f<piy)<l>(x,y)dy 



rappresenta allora una funzione analitica F(x) di cui si ha, per il § precedente,. 

 1' espressione formalmente approssimata 



n 



(4) 2 Apip(x, <fy) ; 



(1=1 



le Ap , a,! essendo definite come dianzi e perciò indipendenti dalia x . 



Per il modo in cui si è definito il campo C, si ha per .* interno a C e per 

 | y | < »• , lo sviluppo 



oo 



(5) f (fc, y) = 2 y») , 



v=0 



onde 



oo 



F(«) = 2 cj) v (x) , con c v = / (p(y)fdy . 



W 



Ora sviluppando nell' espressione (4) le ip(%, a^) secondo la (5) , ferma sempre 

 T ipotesi che tutta la A e le a^ cadano entro il cerchio r, si ha 



n 



2 Apipix, ap) = 2 c'plx) 

 n=i 



dove, per le proprietà delle A^ 



c v = cj per v = 0, 1, 2,... 2n — 1 . 



Sostituendo dunque alla (3) la sua espressione approssimata (4) , si ottiene lo 

 sviluppo della funzione F(x) in serie di funzioni date p w (x) , esatto fino al 2n mo 

 termine inclusivamente. 



3. Problema inverso. Nel § precedente abbiamo dato un'espressione appros- 

 simata dell'integrale definito F(x) , date le funzioni (p{y) e ìp(x,y). Si può ora 

 proporsi il problema inverso, cioè date le funzioni F(x) e ip(%,y), porre la prima, 

 nel modo più approssimato possibile, sotto forma di una somma di n tennini 



2 Apipix, a,*) . 



!± = 1 

 TOMO X. 11' 



