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 cioè il sistema b , — b iì b 2 ,... ( — 1) V 6 V ,... non è altro che un sistema di polinomi 

 di Appell (') formati coi coefficienti a , — a,, a 2 , — a 3 ,..., cioè (secondo l'espres- 

 sione dell' Appell) aventi per funzione generatrice 



v (-i)Xft" 



21 Ti * 



Ciò che importa di notare, si è che nella espressione di b w non entrano che i 

 coefficienti a Q , a,,... a v ma non quelli di indice superiore a v . Da ciò scaturisce 

 1' osservazione seguente : 



Sviluppiamo la serie (9) in frazione continua, e supponiamo che si presenti il 



caso normale in cui tutti i quozienti incompleti sono di primo grado. Si sa allora 



P(x) ... .1 



che la ridotta n ma -^-r— sviluppata in serie di potenze di - , coincide colla serie (9) 



fino al 2n mo termine inclusivamente. Analogamente, se si sviluppa la serie (10) in 



P'(x) 

 frazione continua e se ne prende la ridotta n ma . questa, indicata con ,,, , e svi- 



Q (*) 



luppata in serie di potenze negative x — x coincide nei 2n primi termini colla (10); 



P(x) P'(%) 



e quindi i 2n primi coefficienti della — — - e della , saranno legati fra loro 



dalle relazioni (11). Si ottiene così il seguente risultato: 

 Se due serie 



a;v+i ' (a;_a: o )v+i 



sono la continuazione analitica 1' una dell' altra, ed una qualunque delle due serie 

 si svolge in frazione continua, la ridotta n ma sviluppata tanto in serie di potenze 

 negative di x quanto di x — x , coincide fino al 2n° termine inclusivamente colle 

 serie date. 



6. Applicazione alle equazioni differenziali lineari. Sia un' equazione 



differenziale lineare di ordine m non omogenea 



(12) *.(*)/(*) ■+- P&) % -H--H- PJL*) ^ = F(x) 



dove F(x) è una funzione regolare per x = od e le p (x) , pfa) ,... pjfi) sono pure 

 regolari per x = ce od hanno al più un polo dell' ordine indicato dall' indice. 

 Si avrà allora per questa equazione un integrale ed uno solo regolare per x = co , 



(') Annales Scientifiques de 1' École Normale Supérieure, S. II. T. IX. 1880. 



