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 i cui coefficienti si potranno calcolare di mano in mano col metodo dei coefficienti 

 indeterminati. Per riconoscere a quali equazioni ricorrenti conduce questo metodo,, 

 poniamo : 





oo 



* •*• •*■ 



scorgiamo allora facilmente che nell' equazione che determina k n figurano le & v e 



le fljv solo fino all' indice n e non con indici superiori. Ne risulta che se si svi- 



v\ (x\ « (x) 

 lappano le p a {x) ,--*-— - ,... m ed F(x) in frazioni continue e si indicano rispet- 



tivamente con r (x) , r x {x) ,... r m (x) ed R(x) le loro ridotte n s ' m % se quindi si sosti- 

 tuiscono nell'equazione (12) al posto di p (x) , p^x),... p m (x) , F(x) rispettivamente 

 le r Q (x) , xrix) ,... x m r m (x) , R(x) , si otterrà urC equazione approssimata la cui soluzione 



coinciderà nei 2n primi termini del suo sviluppo in serie di potenze di - coli' in- 



♦v 



tegrale particolare della (12) regolare per x = co . Si potrà dire così di avere 

 ottenuto un integrale approssimato dell' equazione (12), il quale si potrà alla sua 

 volta ridurre in frazione continua ed avrà , col medesimo grado di approssima- 

 zione — e colle solite restrizioni — la forma 



(13) 2 A » • 



(i=l X 0"|i 



la quale forma conviene, per il § 5, a rappresentare, nell' ordine di idee di quel §, 

 anche la continuazione analitica di esso integrale. 



Limitandoci al caso in cui le p/x) hanno un numero finito di termini, molti- 

 plichiamo tutta 1' equazione per la massima potenza negativa di x che figura in 

 essi, e per e xz dx , infine integriamo lungo un contorno chiuso che sia tutto com- 

 preso nel campo di convergenza della serie di potenze negative di x 



(14) F(x) = 2 ^ . 



Veniamo così ad ottenere un' equazione differenziale lineare a coefficienti razio- 

 nali interi, il cui secondo membro è la funzione trascendente intera 



quest' equazione si suole chiamare la trasformata di Laplace della (12). Alla forma 



