— 87 — 

 approssimata dell'integrale della equazione (12) corrisponde, per l'integrale del- 

 l' equazione trasformata, la forma approssimata assai semplice 



n=l 



che sviluppata per le potenze di z, coincide nei 2w primi termini coli' integrale 

 esatto. 



7. Applicazione alle equazioni alle differenze. Supposto sempre che i 



coefficienti p { (%) della equazione (12) si riducano a contenere un numero finito di 

 termini, applichiamo a questa equazione la trasformazione di Eulero, facendo cor- 

 rispondere ad f(x) una funzione (p(z) mediante la 



oo 



(16) <p(z) = ff{x)x- z - l dx . 



a 



Si può supporre senza restrizione essenziale che la serie (14) converga fuori 

 di un cerchio di raggio minore dell' unità e che siano pure minori dell' unità in 

 valore assoluto le quantità indicate dianzi con a [X , e semplificare allora la trasfor- 

 mazione precedente facendo a = 1 . La trasformata del secondo membro F(x\ 

 dell' equazione (12) prende così la forma 



co 7„ 



v=0 Z-\-V 



valida per tutti i valori di z la cui parte reale è positiva. Dalla (16) segue 



(p(z — 1) = ! f{x)x.x-~*~ l dx 



ì 



ed integrando per parti 



oc 



z<p(z) = C ■+- fxf'(x)x~ z - 1 dx , 



1 



dove C è una costante; donde risulta che il primo membro della (12) si trasforma 

 in una espressione lineare alle differenze finite in (p{z) , a coefficienti razionali 

 in z di grado eguale al più ad m : più un polinomio razionale intero in z di 

 grado non maggiore di m . 



Colla medesima trasformazione, 1' integrale dell' equazione primitiva (12), sotto 



