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In ciò die precede rientra il teorema del Menabrea., che si suole enunciare 

 dicendo che " il lavoro sviluppato nella deformazione di un sistema elastico sotto l'azione 

 di date forze esterne è un minimo „ ovvero " il lavoro di deformazione è un minimo 

 nello stato di equilibrio compatibilmente coi valori delle forze esterne „. 



Ma qui per chiarezza convien distinguere se le forze esterne, sotto cui il sistema 

 si trova deformato ed equilibrato, s' intendono date in tutti i punti sia dell' interno 

 che della superficie (ritenendo dato il valore zero dove non è applicata alcuna 

 forza) ; ovvero se le dette forze non sono realmente assegnate che in parte, mentre 

 in alcuni punti il loro valore non è dato direttamente, ma si hanno invece altri 

 dati o condizioni, o, come si dice, dei legami imposti al sistema. 



Neil' un caso è evidente anzitutto che non può esser quistione di minimo inteso 

 alla prima maniera. Poiché per la corrispondenza univoca esistente fra gli sposta- 

 menti e gli elaterii, ogni sistema di variazioni (du) a partire dallo stato di equi- 

 librio porta necessariamente qualche variazione degli elaterii ; onde supponendo 

 dati questi in tutti i punti (o ciò che è lo stesso, date le forze esterne), non è 

 possibile nessuna variazione congruente conciliabile con quei valori; e però non 

 avrebbe senso il dire che il lavoro è un minimo compatibilmente coi valori dati. 

 — Riferendoci alla seconda maniera invece, possiamo ben immaginare dei sistemi 



di variazioni ( SlTr ' %-jJ" % v ) compatibili coi dati valori delle forze estei-ne o 

 \oX x , ar y ,... óX y / 



degli elaterii, tali cioè che si abbia pei punti interni 



ÌX ty i)Z 



e pei punti della superficie 



dX x a + dX y + dX z <y = dX n =:O ì dT n = 0, dZ n = 0-, 



ossia in generale dy = in tutti i punti. Per questi sistemi la condizione (7') 

 risulterà senz' altro soddisfatta : onde il teorema in discorso si presenta come appli- 

 cazione particolare del minimo subordinato alla detta condizione. 



Neil' altro caso invece , mercè l' indeterminatezza delle forze in alcuni punti 

 (resistenze dei legami), sono possibili anche delle variazioni congruenti conciliabili 

 coi valori dati negli altri punti (forze attive). — Distinguendo le forze date o 

 attive (X) dalle resistenze (X'), la (7') può scriversi 



ovvero, ponendo per quanto si è detto che le dX sieno tutte nulle, 



S [udX] = ; 



