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 il prodotto jt riuscirebbe nullo nel punto (x oì y ) indipendentemente dai valori 

 di a e /? se fosse f{x , y ) = ì vale a dire se il polo appartenesse alla curva, 

 e ciò è d'altronde manifesto; escluso che sia questo caso, affinchè il prodotto ti 

 riesca indipendente dalla direzione della retta (p) dovrà il denominatore della fra- 

 zione che ne rappresenta il valore essere indipendente da » e perciò si dovrà 

 avere identicamente 



do \ ox oy 





ed è questa la condizione cui deve soddisfare la funzione f(x, y) perchè la curva 

 (G m ) abbia potenza in rispetto ai punti del proprio piano. 

 Essendo 



1-2 — m\ìz ìli / 



ed essendo — $ e -4- a le derivate rispetto alla variabile a delle quantità a e @ 

 rispettivamente, la precedente condizione si risolve nella 



i7i„,(E <z -4^r = - s (( "— *■■*- ,K - -<'+ ' k +'> a ~~' *-°' 



e questa sarà soddisfatta per identità se fra i coefficienti dell' espressione (2) sarà 

 la relazione 



7) ( m _ r _ h i)fl r _ i __( r - i -l)a r + < =0 



qualunque sia il numero intiero r e coli' avvertenza che si debbono ritenere nulli 

 i coefficienti a che in quest' ultima formula ricevessero un indice o negativo o su- 

 periore a in. 



Sia in primo luogo m=2k numero pari. La condizione (7) richiede sia per 

 ciascuno dei valori 1,2, ... , 2A; della r 



l a ) (24 - r -4- 1)«, - < - (r -+- 1K.+ 1 = ° : 



col porre successivamente r = 0, 2, 4, ... 2k si ottiene 



e ciò prova che debbono essere nulli tutti i coefficienti a s dei termini che nella 

 espressione (2) occupano posto pari ; e col porre successivamente r = 1. 3, 5, ... , (2k — 1) 

 si ottiene 



k Jc—l le — 2 



