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 in rispetto a uno o più de' suoi punti non possono mancare amendue i' termini 



15) a>-*; u^y**** : 



se li contiene amendue, riuscirà (A t ) 



i6) im=-ì-(v) 



a \òx/ a w+i \3y/ ' 



se poi ne contenesse uno solo, il valore del prodotto jt t sarebbe dato dal primo 

 o dal secondo membro dell'equazione (16) secondo che dei due coefficienti a e 

 a Sh -*-i fosse il primo o il secondo diverso dallo zero mentre nell' altro membro 

 dovrà riuscir nullo anche il numeratore. 

 L' equazione 



G0HI)/- 



è 1' equazione di una retta che ha la direzione della tangente la curva nel polo 

 i x oi Vo) e ^ è anche diretta, come dimostra la forma che ha il membro supremo (14) 

 dell' equazione della curva, al solo punto reale a distanza infinita della curva stessa, 

 ed è per conseguenza l'equazione di una retta parallela al solo assintoto reale 

 della curva: si può dunque assumere a polo (x , y ) ogni punto della curva nel 

 quale la tangente sia parallela all' assintoto reale : onde : ogni curva piana algebrica 

 d'ordine impari 2h -t- 1 se è curva ciclica k ma ha potenza in rispetto a quei suoi punti 

 nei quali la tangente ha la direzione dell' assintoto reale della curva stessa , e la potenza 

 della curva in ciascuno di tali punti è data dalla formula (A,). 



Raccogliendo i risultamene di questo e del precedente capitolo si può conchiu- 

 dere : fra le curve piane algebriche rappresentate da equazioni con coefficienti reali, 

 quelle soltanto che sono d'ordine pari 2k e curve cicliche k me hanno 'potenza in rispetto 

 ai punti del loro piano, e quelle soltanto che sono d'ordine dispari 2k -+- 1 e curve 

 cicliche k me hanno potenza in rispetto ad uno o più dei loro punti e questi sono i punti 

 del contatto della curva con ciascuna delle tangenti parallele all' assintoto reale della curva 

 stessa. 



Per esempio si supponga dato un fascio di circoli in un piano e che a cia- 

 scun circolo del fascio sieno state condotte le tangenti da uno stesso polo a di- 

 stanza finita preso ad arbitrio nel piano : il luogo dei punti di contatto dei raggi 

 uscenti dal polo coi circoli del fascio è una cubica della quale si trova facil- 

 mente l' equazione. Pongasi l' origine delle coordinate ortogonali x e y in quel 

 punto A della retta luogo dei centri dei circoli del fascio che è proiezione orto- 

 gonale del polo e prendasi la stessa retta per asse delle x ; sieno h V ordinata 

 del polo 0, a e ± J 1' ascissa e le ordinate dei due punti P i e P s della base del 

 fascio che non sono a distanza infinita, e r t 1' ascissa del centro di uno qualunque 



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