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 si può anche porre 



21) (a g -h è'— /«*)*-+- 4a*A' = (a* '-f- b* — &*H- 2«V , 



ove a* è necessariamente quantità positiva, e rappresentare le due radici dell'equa- 

 zione precedente con 



u t = a*, u s = — (a*-i- b* — h* -\- a s ), 

 così si ottengono le quattro radici dell'equazione (19) sotto le forme semplici. 



22) 



x,= a-i- \ / / a s -\- a s , x s =a — |/a*-+- a 2 



z . 



x^—a-^y/h* — b s — a* , x 4 = a — j/A* — b s -\- a 



le due prime saranno sempre reali, le altre due possono essere reali o immagi- 

 ginarie ; e saranno immaginarie se i due punti P { e P s sieno reali distinti, sa- 

 ranno invece reali se i punti P { e P s coincidano in un solo punto ovvero sieno 

 immaginari. Che le due prime radici sieno sempre reali è manifesto ; quanto alle 

 altre due si osservi che essendo 



(a s -i- b*— h*-i- 2a*)*z= (a'-h b*~ &*)'-+- 4a*a ? H- éa s {b s — *» -+- a g ) , 



per la condizione (21) non può riuscire a* > ir se b è quantità reale né a s ^> h s -i-b* 

 se b è quantità immaginaria e che sarà a s =h s se è è = 0; per conseguenza le 

 radici x 3 e x 4 sono immaginarie se b s > 0, sono reali e diverse se b s <C 0, sono 

 reali eguali se b s = 0. In generale i punti della cubica in rispetto ai quali la 

 curva ha potenza determinati dalle formule (22) e (18) formano due paia di punti 

 e i punti di ciascun paio sono equidistanti della retta P t P 9 ovvero x = a (*). 



Quando è b quantità reale diversa dallo zero, i due punti P t e P„ sono reali 

 distinti, la cubica non ha punto doppio e non è bipartita, e ha potenza in ri- 

 spetto a due soltanto de' suoi punti : quando è b = i due punti P t e P s coin- 

 cidono in uno stesso punto (x = a 1 y = 0) nel quale la cubica ha un punto dop- 

 pio ; il sistema delle due tangenti in questo punto è rappresentato dall'equazione 



\X — a) a\X — a) 



(*) I quattro punti in rispetto ai quali la cubica ha potenza sono sopra due rette che pas- 

 sano pel polo e vi si intersecano ortogonalmente ; ognuno dei quattro punti è il centro delle 

 altezze del triangolo che ha per vertici gli altri tre. Questi teoremi sono dovuti al sig. prof. Retali 

 al quale io aveva comunicati i risultamenti sopra riferiti : essi conducono a una costruzione dei 

 quattro punti che è semplicissima e indipendente dalla costruzione della cubica. È notevole che 

 i punti in rispetto ai quali una cubica ciclica ha potenza sono per l' appunto i centri dei quattro 

 circoli focali della cubica stessa. (V. Salmon — A treatise on the higher piane curves — 2. d ed. 

 Dublin, 1873, p. 239). 



