— 349 — 



la quale fa vedere che le due tangenti sono reali e ortogonali ; le quattro radici 

 (22) diventano 



x t — «-+- y/a*-*- /«*. x.= a — ì/V-h-A*. x g = x f = a: 



la potenza della cubica risulta nulla, come deve essere, in rispetto al suo punto 

 doppio ed è reale in rispetto ad altri due dei suoi punti : quando finalmente è 

 6 S < i punti P t e P s sono immaginarli, la cubica è bipartita e ha potenza reale 

 in rispetto a quattro de' suoi punti. 



Suppongasi che il polo sia un punto dell'asse delle x o linea luogo dei 

 centri dei circoli del fascio : la cubica allora è disposta simmetricamente da una 

 parte e dall' altra della linea ora detta ; si ha 



h = 0, cr=0, 



1' equazione della curva riducesi alla 



23) ( X — 2a){x s -h y s ) -+- (a* -+- b*)x — 



dalla quale deriva 



ì>x J 



2(x — 2a)x -+- a*-+- b*= 2 ( (x — 2a)x — ^■- " l " b * )a ) , 



\ x — la I 



e le quattro radici (22) si riducono alle 



24) x i =2a, x s =0, ^=a+|/-F, x 4 =z a — /— b> . 



Alla prima soluzione corrisponde il punto reale a distanza infinita della cubica 

 nel quale essa ha un flesso : infatti il polo (a) reciproco del polo in rispetto ai 

 punti del fascio, punto comune alla cubica e all' assintoto reale, nella ipotesi h=:Q 

 va a distanza infinita a coincidere col punto di contatto della cubica coli' assintoto ; 

 la cubica ha dunque uno de' suoi flessi nel suo punto reale all' infinito , e in ri- 

 spetto a questo punto si può ammettere che essa abbia potenza, e la potenza sa- 

 rebbe l'infinito (co*). 



La seconda soluzione dà il polo (*) qualunque sia la è e per le formule (18) 



(*) Questa proprietà del polo quando esso appartiene alla retta luogo dei centri dei circoli 

 del fascio, fu già avvertita dal Sig. Dott. Arnaldo Andeeasi nella tesi da lui sostenuta innanzi la 

 facoltà di scienze fisiche, matematiche e naturali della K. a Università di Bologna addì 3 luglio 

 1889 per ottenere la laurea iu scienze matematiche. 



