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come mediante lo sviluppo in frazione continua, una funzione data viene rappre- 



P 



sentata da una frazione razionale — nel modo più approssimato possibile per un 



grado dato di P e Q. Dalla proprietà indicata derivano le applicazioni cui si pre- 

 sterà il presente algoritmo, e di cui alcune sono indicate alla fine di questo la- 

 voro (*). 



1. Si dice che una serie di potenze decrescenti di a; è del grado X ì quando 

 la massima potenza di x il cui coefficiente sia diverso da zero, è a?: In ciò che 

 segue À si supporrà sempre intero. 



2. Abbiansi p serie di potenze decrescenti di se, che indicherò con 



(T (X), G/X), . . . G p _ i (x) 



rispettivamente dei gradi 



°, —r tì — (r t -+- r s ), (r i -+- r^H r p _ t ) , 



dove r t , r s) • •• r t sono numeri interi positivi e diversi da zero. Per queste 

 serie vale il seguente : 



Teorema. " Si possono sempre determinare, ed in un sol modo, i polinomi ra- 

 " zionali interi in x : 



a tì a g , ... a p _ t 



" rispettivamente dei gradi 



r n r s— X i r 3 —\,...r p _ ] —l 

 u per modo che risulti 



(!) o ■+■ a i°i ■+■ o«^*H %-^p-i — <r p > 



" dove a p è una serie di potenze decrescenti di x, del grado 



— {r 1 -^r s -\ r p _ t -+- r p ) , r p > 1 . „ 



(*) Alcuni dei risultati contenuti in questa Memoria furono dati, limitatamente al caso di p = S 

 in un lavoro ancora inedito che ho presentato alla E. Accademia dei Lincei, sotto il titolo : « Sui 

 sistemi ricorrenti di funzioni. » Essi vennero però ottenuti partendo da un punto di vista al- 

 quanto diverso. 



