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 " cerchio di centro x = 0) , quel campo di convergenza è comune a tutte le 

 " altre. „ 



C. tt Esse sono di grado costantemente decrescente. La differenza dei gradi dì 

 " due a consecutive è in generale di un' unità, ma può eccezionalmente essere 

 u anche maggiore. „ 



D. " Fra p -+- 1 funzioni a passa la relazione lineare ricorrente. 



(6) a n + «,.„<?„+, -+- «W* s -h„h a p _ rn a n + p _ t = a n + p , 



" cioè le G ' costituiscono un integrale dell' equazione alle differenze 



(a) f(n-^p) = a p _ r J(n-hp — l)-\ 1- a t J(n ■+- 1) +f(n) , 



" i cui coefficienti sono determinati nel modo su esposto. „ 



5. Il sistema (5) si dirà normale quando la o n per ogni valore dell' indice, sarà 

 dell' ordine — n. In tal caso la differenza fra i gradi di due a consecutive sarà 

 sempre di un'unita, le a, saranno di primo grado in x e le a a , a„ , a . sa- 



I 7 ì-n i c3 2 n * 3n ' p — i n 



ranno costanti, 



G. Eliminando fra le equazioni che si deducono dalla (6) dando all' indice i 



valori 0,1,2, », le a pì cr p _ hl , p + s , ■ • ■ a p ^_ { _ nì giungiamo ad una relazione 



della forma : 



( 7 ) A 0.n-p°0 ■+■ A I.n+ P a t H A v-l.n-p a p-t = ff n-t-p 



i cui coefficienti sono razionali interi in x. Ma la ff B _j_ è del grado — (n-j-p) al 

 più: onde le (7) si può riguardare come una relazione omogenea lineare fra 



le (X c , Gj, ... ff y , esatta fino ai termini dell'ordine — (n-\-p — 1) inclusivamente. 



7. Mutando nella (7) l'indice n in n — 1, n — 2, . . . n — p; indi moltipli- 

 cando la prima delle equazioni così ottenute per a _,.„, a s . nì ••■ «,.„, 1, e sot- 

 traendo dalla (7) stessa, si ottiene 



p-i 



J == ^ \ A hn-*-p U p — 1 -iA h-n-t-p— 1 %— Sn h-n-t-p — S a in A h n-hi A h;) ff h > 



h = 



ma questa relazione è una conseguenza puramente formale delle (6) e (7) e vale 

 qualunque siano i valori iniziali c , a n . .. o h . Perciò ne saranno nulli i singoli 

 termini, e si avrà 



(8) A n _ p = a p _ l .A h . n + p _ l ->-a p _ s .A h . n + p _ s -\ 1- A*.„ (*= 0, 1, 2, ...p — 1) 



