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 la quale ci dimostra che i sistemi A k danno altri p integrali dell' equazione alle 

 differenze (a). 



8. Facendo nella (7) l'indice n uguale successivamente a ■ — p, — p-j-1,... — 1, 

 si vengono a trovare per le A h i valori iniziali : 



(9) 











1° 



se k 



> 



h 





A 









< 







■"■K.k 





(1 

















se k 



= 



», 



h 



= 



o, 



1. 



,2,. 



■•V 



— 



1, 



h 



= 



o, 



1. 



.2,. 



■■P 





1. 



dai quali risulta che il determinante 



A 



h-h 



è uguale all'unità, e quindi che il sistema A hn d'integrali dell'equazione (a) è 

 fondamentale. Ne segue che qualunque integrale della (a) si potrà esprimere in 

 funzione lineare delle A hhì a coefficienti indipendenti da n. In particolare, l'inte- 

 grale a n viene espresso mediante la (7). 



Notando che almeno uno dei coefficienti a hn nella equazione (8) è dipendente 

 da #, e ne è funzione razionale intera, segue che al crescere di n il grado dei 

 polinomi A hì va diventando grande quanto si vuole. 



9. Al § 4 si è definito il procedimento od algoritmo con cui dalle funzioni 

 date (4). si deduce l' intero sistema (5). Dirò che l' algoritmo è limitato quando 

 proseguendo in esso, una delle funzioni a ; _ m si troverà identicamente nulla, illi- 

 mitato nel caso contrario. Risulta subito dalla (7) che : 



" Quando l' algoritmo è limitato, fra le p funzioni date sussiste una relazione 

 " lineare omogenea a coefficienti razionali. „ 



Più interessante è la reciproca di questa proposizione : reciproca che verrà di- 

 mostrata in appresso per il caso del sistema normale. 



IO. D' ora innanzi mi limiterò a considerare il caso di un sistema normale : 

 cioè supporrò che ogni a n sia precisamente del grado — n. L'equazione alle dif- 

 ferenze (a) si può scrivere 



(6) f{n -hp) = a p _ t .J(n-h])—l) H h- K/ + «',J/(» + l) -+-/(«) 



dove ora le 



