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 Indicherò con M la matrice di questo sistema ; e qui converrà distinguere 



due casi : 



1.° Sia k > 0. Il sistema S n _ t è della stessa forma di S n , solo in esso 

 m |1 _ | _ 1 è nullo anche per h = k-+-l. La matrice del sistema S n _ n che chiamerò 

 M', contiene una colonna in meno di M, cioè quella corrispondente al coefficiente 

 m. . ;.|ì_i_,j ed una linea in meno corrispondente, a v = (Ap -i- p -\- k — 1. Se ora 

 ad M' aggiungiamo quest' ultima linea , otteniamo un determinante di ordine 

 ap-{-p-{-k appartenente alla matrice M, e questo determinante non è evidente- 

 mente altro che il coefficiente di x~ in ~ hp ~ 1> in (T n _ 4 _ p _ i , il quale coefficiente è 

 essenzialmente diverso da zero per l'ipotesi che il sistema è normale. 



2-° Sia invece k = 0. Allora nel sistema S , la matrice M ha due linee e 



il 1 



due colonne in meno di M\ infatti vi mancano le colonne relative ad m oV . ed 

 m^ii+iì e le linee relative ad rr' 1 ed x~ {n ~*~ I '~ 1] . Se ora ad M aggiungiamo que- 

 st' ultima linea, otteniamo un determinante D essenzialmente diverso da zero per 

 essere il coefficiente di x~ {n ~*~ v ~ 1] in ff n _ hp _ r Tornando alla matrice M e sop- 

 primendovi la colonna relativa ad m oV , abbiamo un determinante in cui tutti gli 

 elementi della prima linea sono nulli, ad eccezione di g t t nella fj, -t- V ima colonna: 

 questo determinante si riduce dunque al prodotto di g t t (per ipotesi diverso da 

 zero) per il minore corrispondente, che non è altro che D. 



E così dimostrato che in tutti i casi la matrice del sistema S h contiene un 

 determinante d' ordine (Ap-+-p H- k essenzialmente diverso da zero, talché il sistema 

 dei coefficienti m hnì m hil ... è determinato senza ambiguità all' infuori di un mol- 

 tiplicatore comune, e Ad. 



13. Dalla dimostrazione precedente risulta che nel caso di un sistema (5) nor- 

 male, i polinomi A ]in ^, p sono completamente determinati — all' infuori di un mol- 

 tiplicatore comune e tenuto conto del loro grado dato dalla (10) — dalla condi- 

 zione che (J n ^. p sia dell' ordine — (n -+-p)- Siccome d' altra parte essi sono anche 

 determinati dall' equazione alle differenze (a) unitamente ai loro valori iniziali (9), 

 possiamo concludere che per questi polinomi si hanno due modi di definizione 

 perfettamente equivalenti. 



14. Per chiarire meglio la dimostrazione data a § 12, daremo un esempio del 

 come sono costituite le matrici ed i determinanti di cui si è tenuto discorso, trat- 

 tando un caso particolare. Facciasi dunque p = 4, w = 3 ; perciò k = : ^=1; 

 siamo nel secondo caso del § 12. 



Il sistema S 3 è formato di 8 equazioni lineari omogenee fra i 9 coefficienti 



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