— 524 — 



" a A, si possono annullare al più i p{A -f- 1) — 2 termini di più alto grado in x; 



" supposto sempre che il sistema (5) sia normale. „ 



Dapprima si osservi che la R non può essere di grado superiore a X — 1 , 

 altrimenti vi sarebbe in R (7 un termine che non si distrugge con alcun altro. 

 Facendo ora 



B h = r *J& ■+■ *Vx- i * x ~" i H h r h . t x ■+■ r h , , 



se dalla (16) devono sparire le più alte potenze di x in numero di p(A-t-l) — 2, 

 avremo altrettante equazioni di condizione della forma 



p-i 



(17) 2 KWn» ■+- r h x- t g h y-t n 1- r h . g h y_ x ) == 



dove è supposto ?' .x= 0- Questo sistema (17) di equazioni non differisce dal si- 

 stema S nì dove sia posto 



(18) n = A(p — l) — l; 



ma questo ammette una soluzione determinata all' infuori di un fattore (§ 12), 

 perciò le B h non possono differire dalle A hnm ^. p dove n è data dalla (18). Per 

 l'ipotesi che il sistema (5) è normale, ne segue che nella (16) non si annulla il 

 termine in x~ {n ~*~ p \ e quindi il massimo numero dei termini di più alto grado 

 che si possono far sparire dalla (16) con coefficienti di grado non superiore a A 

 si ottiene facendo 



B h =z ^hMp—i)+p—i 



ed è^j(zlH-l) — 2, c.d.d. 



16. Teorema. " Quando fra le p funzioni date a o: <J n ... - p _ i sussiste una 

 " relazione lineare omogenea a coefficienti razionali, ed il sistema (5) è normale, 

 " 1' algoritmo definito a § 4 è limitato. „ 



Abbiasi infatti la relazione identica 



(19) i2 (r -j- J B 1 a i n-...B p _ i (T p _ i =0 



e sia A il massimo grado delle R h . Per le ipotesi fatte e per il teorema del § 

 precedente, le R h non possono differire che per un fatto costante dalle A h + con 

 n=A(p — 1) — 1; perciò la (19) coincide con 0" n _ t _ p , la quale sarà identicamente 

 nulla e quindi 1' algoritmo limitato, c.d.d. 



Ricordando 1' osservazione fatta al § 9, segue che condizione necessaria e suf- 

 ficiente perchè fra p funzioni analitiche passi una relazione lineare è che applicato 



