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ad esse 1' algoritmo definito a § 4, e supposto il sistema (5) normale, l' algoritmo 

 stesso riesca limitato. Nelle applicazioni vedremo alcune conseguenze di questo 

 teorema. 



17. Formando il determinante d'ordine p 



A = 



On 



ln-\-l 



A 

 ... -^ip 



... A 



P — ln-'ri 



A A 



-"■O-n+P—1 ""-i-n-t-p — 1 



V — i-n-4-P — i 



si trova facilmente che esso ha per valore zìz 1. Infatti, moltiplicando le ultime 



p — 1 linee rispettivamente per « y . n , a p B , a p _ in ed aggiungendo alla prima, si 



ottiene per la (8) un determinante che, con una sostituzione circolare delle sue 

 linee, si riduce a A n+r Si ha pertanto 



A . = (— 1F — ■'A . 



Ma per il sistema (9) dei valori iniziali delle A hn si vede che A non diffe- 

 risce dall' unità ; onde risulta che : 



" Il determinante A ?i è costantemente uguale alla unità se p è dispari. Esso 

 " è uguale a ( — 1)" se p è pari. „ 



Per p = 2 questo teorema dà la nota relazione 



P<P - t — P-,0 =±1 



ni n~~l n — IT n 



fra i numeratori e denominatori di due ridotte consecutive di una frazione conti- 

 nua. Per p = 3 si ottiene un teorema già stato dato dal Jacobi. 

 18. Indicheremo con 



i minori dell'ultima linea nel determinante A n , presi col proprio segno e col 

 segno contrario secondochè p è pari o dispari. Cosi sarà in ogni caso 



S 0n — 



1-n 



"■S-n 



L 2n-t-i 



. A 



p — in 



P — l-n-i-l 



A A A 



^in+P — ? -"s-n-4-P — * ••'" P — in-HP — * 



