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 Per risparmio di spazio, questo determinante verrà scritto abbreviarne nte 



(20) B . n = | A t . H , A ln + l , . . . . A t . n + V _ 



S I ! 



e la stessa notazione si userà per i determinanti analoghi che ci verrà fatto di 

 considerare. 



19. Ho avuto in altre occasioni l'opportunità di considerare accanto all'equa- 

 zione alle differenze (a) l' altra 



( C ) f{ n —j)) = a p _ 1 , n _ p _ hl f(n — p -+- l)'-f- a p _ s , n _ p ^J(n — p-h2)-\ 



-I- <*,.„_, f(n — l)+f{n), 



che ho chiamata sua inversa. Ora si può dimostrare che 



u Le B hn , (h = 0, l,...p = l) soddisfano all'equazione ricorrente inversa 

 " della (a) cui soddisfano le A hn , se p è dispari. Se p è pari vi soddisfano 

 • invece le (- lfB hn . „ 



A dimostrare questo teorema sostituisco nell' espressione (2) della B n , alle 

 A h , n+P _ s i loro valori dati dall' equazione (8). In tal guisa la B g n si viene a 

 scindere in una somma di p determinanti, di cui però p — 2 si riducono a zero 

 per avere due linee proporzionali, talché rimane : 



Bo-n~ a in—s I A l . n , A t , n+i , A 1 . n + p _ 3 , A ì _ n _ 1 | 



Dei determinanti dal secondo membro il primo si riduce a ( — Vf~ s B 0-n _ t 

 come si vede facendo una sostituzione circolare delle sue linee; il secondo, dopo 

 fattavi pure la sostituzione circolare delle sue linee, si indichi con C n _ s . Viene così 



(21) B .=(-\y- s a, n _ s B 0n _ t + {-lY-*C n _ s . 



Se ora in O n _ s si sostituisce ancora agli elementi dell'ultima linea A hn _^ p _ 3 

 i loro valori dati dalla (8), esso si scinde in una somma di p determinanti , di 

 cui due soli sono diversi da zero, e si ottiene analogamente alla (21) : 



(22) c n _ s = (- iy~ 3 a, n _ 3 B . n _ s -+- (- iy-*c n _ g . 



Così pure G n _ 3 si scinde in modo analogo e ci dà 



(22') c n _ 3 = ( - iy~*a, n _ t B . n _ 3 -+- (- iy- s c n _ 4 



