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 che è 1' equazione inversa della (a). Le PJx) sono polinomi razionali interi in x del 

 grado indicato dall'indice, per essere le a jn di primo grado in x. Questi poli- 

 nomi, nella teoria delle frazioni continue, si riducono da capo ai denominatori 

 delle ridotte : infatti per p = 2 



21. È interessante di vedere se è possibile uno sviluppo di una funzione data 

 in serie di PJx) ì come avviene per il caso dei denominatori dello ridotte; in par- 

 ticolare se è possibile uno sviluppo di . In questo e nel seguente § mi oc- 



cuperò brevemente di tale questione, che darà luogo anche ad alcune considera- 



P g 



zioni circa il limite per n = co dei rapporti — ^-^ e "**"* . 



"n 'n 



" Posto 

 " si ha 



® t .n C n X ~^~ C n J 



DO 



(24) ^r x = Ta Yf n - iPn{x)(Jn{z) ' ° " 



1^0 



Dimostrazione. Dalla relazione (23') cui soddisfano le PJx) ricavo, moltipli- 

 cando per a n {z) e cambiando n in n -+- 1 : 



xc n _ t PJx)aJz) = — P n+1 (x)ajz) — e' n _ t PJx)aJz) 1- P„_ p+i (a;)(T n («) ; 



indi sommando a tutti i valori di n di 1 ad tu, viene ordinando rispetto a P t , 

 P oì ... P m _ p _ i . 1 e tenendo conto della (6) cui soddisfano le ajz) : 



m vi — p 



(25) x 2 c n _ t PJx)aJz) = P d a ■+- z 2 c n _ t Pjx)<jJz) — B m 



(") Questa forinola è un caso speciale di un'altra, assai più generale, che ho data nel citato 

 lavoro « Sui sistemi ricorrenti di funzioni. » 



