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 dove il resto R m è dato da 



(26) R m = P m + t a m -h P m {c m _ 1 a m -^-a m _ 1 ) h- ... 



"t - * m — p^-oKflp — { . m — p^- 1 C/ m ~'r- '" u m — p-i-i) - 



Se per m = co questo resto tende a zero, si deduce immediatamente dalla (25) 

 lo sviluppo (24) di in serie di P n (x). 



Nell'ipotesi di p — 2, cioè delle frazioni continue, questa forinola si riduce a. 

 quella data da Heine (Handbucb, T. 1, p. 292). 



22. Lo studio della convergenza di questa serie presenta molte difficoltà, tanto 

 che anche per il caso più semplice delle frazioni continue 1' Heine dando la sua 

 formola, si limifa a dire che essa sarà valida sotto la condizione che il resto tenda 

 a zero (*). Mi sembra adunque che possa offrire qualche interesse l' esame anche 

 superficiale di un caso abbastanza generale in cui si possono stabilire condizioni 

 di convergenza per la (24). 



Supponiamo perciò che i coefficienti 



C n ì C ni a g.n 1 a 3-n ; • • ■ a -p — t n 



tendano, per w = co, a limiti finiti e determinati che denoteremo rispettivamente 

 con 



e, e , a gì a 3 , . . . a p — ì . 



Per un noto teorema del Poincaré si sa che il rapporto P n + t (x) ■ Pjx) tende, 

 per n = co , ad avere per limite una delle radici dell' equazione 



(27) t p —(cx-i-c')t p - 1 -+-a s t p - s -\ Y-a p _ t t — 1 = 



ed in generale la massima in valore assoluto, e (T n ^. 1 {z): cr n (z) avrà per limite, 

 per n = co , una delle radici dell' equazione 



(28) t*-+-a p _ t t p -' -+- a p _ s t p ~ s {cz -+- c')t — 1 = 



inversa della (27). Ora (T n _ ht : a n è sviluppabile in serie di potenze decrescenti 



(*) Loc. cit. , p. 293. « Sobaìd das àbzuziehendc Bestglied.... mit waschendem v zu Nuli con— 

 « vergit, gilt die Gleichung (5. a). » Questa equazione (5,a) è appunto la nostra (24) per p = 2, e 

 v sta al posto di m. 



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