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di z del grado — 1 per i valori di z esterni ad un cerchio B. Supponiamo che 

 questo cerchio sia indipendente da n da un certo n in avanti: allora il limite 



<jj "~ > ~ f non potrà essere infinito per z=co. Ma dalla forma dell'equazione (28) 



si ricava subito che essa ha una radice nulla e p — 1 radici infinite per z = co: 

 indicata con A(z) la radice nulla per z = oc , viene 



(29) lim2£^ = A(0). 



Si vede da ciò che (T n (z) è quell' integrale eccezionale dell' equazione alle dif- 

 ferenze (a) che per n = co ha per limite la radice minima in valore assoluto del- 

 l' equazione limite (28); integrale cui ho dato il nome di distinto. 



Invece P n (x) rientra nel caso generale, cioè il limite di P n ^ rl : P B è la radice 

 massima in valore assoluto dell'equazione (27). Ciò è confermato dall'avere que- 

 sta equazione un' unica radice infinita di prim' ordine per x = co , come è infinito 



P (x) 

 pure di prim' ordine il rapporto "^"' — , mentre le altre radici della stessa equa- 



zione sono nulle per # — co. Di più, la radice infinita per x = co essendo 



per essere inverse le equazioni (27) e (28), viene che 



(30) lim^zzl. 



Da cui segue che sotto le ipotesi fatte, e per z, x abbastanza grandi la con- 

 dizione di convergenza della (24) è data da 



I M») ì < I K*) I • 



Queste considerazioni qui semplicemente abbozzate sulla convergenza della (24), 

 si troveranno svolte con tutto il rigore per il caso p = 3 nel ricordato lavoro 

 " Sui sistemi ricorrenti di funzioni. „ 



23. Fin qui 1' algoritmo definito a § 4 si è applicato a funzioni rappresentate 

 da serie di potenze decrescenti della x. Giova appena avvertire come si possa 



