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dell'equazione (a) per ogni valore di «, e chiedersi se esistono le funzioni a n (T gì .-. 



(j e se è possibile di determinarle. In ciò che segue dimostreremo come esse 



funzioni esistono sempre formalmente in forma di serie di potenze decrescenti di x 

 e come i coefficienti di queste serie sono univocamente determinati : resta riservata 

 la questione della loro convergenza, che presenta naturalmente anche maggiori 

 difficoltà dello studio della convergenza di una frazione continua. 



26. Per non complicare di troppo la scrittura moltiplicando gl'indici, farò 

 p = é, ma si scorge di leggieri che il metodo è applicabile qualunque sia p. Si 

 parte dall' equazione 



(39) fin H- 4) — aj(n + 3)4- bj(n -j- 2) ■+- (c.x -+- e n )f{n -+- 1) ■+-/(«) , 



dove le a n , b nl c n , e n si suppongono date per ogni », e da quest'equazione e dal 

 sistema di valori iniziali 



A =l, A o = 0, J." o = 0, A- o =0, 



A t = 0, A' t =l, ^",= 0, ^", = 0, 



A s =0, A' S = Q, A" t = l, 4"',= 0, 



[ ^=0, ^',= 0, ^" 3 =0, A"' 3 =\, 



si possono determinare senza ambiguità i polinomi ^4 n , .4^, A'' n1 A'" n . Ci propo- 

 niamo ora di vedere se si possono determinare tre serie di potenze decrescenti di x, 



a t {x), o s (x), a 3 (x) 



degli ordini — 1 , — 2 , — 3 rispettivamente, ponendo per condizione che 



(40) A n + 4 -h A\+ 4 a t -+- A" nJh /r t -+- A" ' nJh4 a 3 = a n + 4 



risulti del grado — (n -4- 4). 



I gradi dei detti polinomi ci sono dati dal § 10, e precisamente: 



i gradi di A n + 4 A' n+4 A" n+S A'" n + 4 



sono rispettivamente fi (1-+-1 (l (l se » == 3^t , 



„ {i (J, ■+- 1 ^ -t- 1 ft » n = 3^ -+- 1 , 



„ [i £t -t- 1 ^H-l [i-ì-1 „ n = 3(i-t-2. 



Ciò posto, l' equazione (40) ci somministra relazioni lineari fra i coefficienti 



