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 " dominio di razionalità definito dalla (45), è che 1' algoritmo stesso sia limitato. „ 



II. Abbiasi una serie a di potenze decrescenti di x del grado — 1, che sia 

 ramo della funzione analitica definita da un'equazione differenziale lineare d'or- 

 dine p — la coefficienti razionali. Una funzione che si possa porre nella forma 



si dice, secondo l' espressione del Poincaré (*) della stessa specie di a : i coeffi- 

 cienti A, A , ...A p _ s essendo sempre supposti razionali interi in x Supposto 

 che la a t sia una serie di potenze decrescènti di x del grado — (p — 1), la con- 

 dizione necessaria e sufficiente affinchè una tale serie appartenga alla specie di 0", 

 è che il nostro algoritmo, applicato alle funzioni 



da d~a d v ~ s a 

 <7, dx' ì dx~ 9ì "- 'dl^ Tì a > 

 riesca limitato. 



III. Sia a una funzione rappresentata da una serie di potenze decrescenti di x 

 del grado — 1, per altro affatto qualunque. L'algoritmo applicato alle funzioni 



1, a, a s , ... a*- 1 



si condurrà alle relazioni (7), che ora saranno della forma 



(46) A o-n+ P + A l.n+ P ff ■+■ Kn + y* ^ A p- y-n+p^"' = ° n +p > 



e convenendo di trascurare le potenze di di x inferiori alla — (n ■+• p — i) a , la 

 (4ti) si può riguardare come un'equazione algebrica approssimata di grado p — 1 

 cui soddisfa la funzione data a. Questa equazione ha inoltre i coefficienti del 

 grado minimo possibile per un dato grado di approssimazione. 



Il numero p essendo arbitrario, facendo p = 3 avremo in particolare per una 

 data funzione a le equazioni quadratiche approssimate 



(47) A -+-A' a-hA" <r°=0, 



e quindi, nello stesso modo che l' algoritmo della frazione continua permette di 

 rappresentare una funzione data qualunque mediante funzioni razionali sempre 

 più approssimate, così il nuovo algoritmo per p = 3 ci dà la rappresentazione 

 della stessa funzione mediante funzioni irrazionali quadratiche 



(*) « Mémoire sur les fonctions zétafuchsiennes, > Acta Math. , T. V, pag. 212 



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