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 serie d'indice 2«, conjugate a K 9 in rispetto ai punti d'una curva piana alge- 

 brica C n m . 



Le determinazioni di questi due luoghi sono fatte completamente, nella Mem. 

 presente, non solo nel senso Pliickeriano, vale a dire non solo sono enumerate le 

 singolarità pliickeriane dei luoghi cercati, ma sono date per queste singolarità 

 costruzioni effettive che sembrano non prive di qualche interesse. 



Una delle difficoltà principali dei due problemi indicati consisteva nel deter- 

 minare i numeri delle coniche dei due sistemi oo s , (H s ) ed (S s ) che soddisfano 

 a certe condizioni di contatto con la curva C* ; in queste determinazioni sono 

 stato ajutato dal Ch.mo Sig. Prof. H. Gk Zeuthen il quale mi fece 1' onore di in- 

 teressarsi alle mie ricerche e facilitarmele : colgo volentieri questa occasione per 

 esprimere la mia profonda gratitudine al celebre geometra Danese. 



Specializzando la curva (7™ si ottengono teoremi assai notevoli, relativi alle 

 coniche ed a certe curve del 3° e del 4° ordine, i quali erano stati in parte ac- 

 cennati in lavori anteriori del Ch.mo Sig. Prof. F. P. Ruffini (') e miei sulle 

 coniche conjugate ( 2 ). 



La C* è supposta generale dell'orarne n e nemmeno sono discussi, naturalmente, 

 tutti i casi interessanti in cui essa abbia relazioni speciali di posizione coi punti 

 i2, (K'r) e con la conica K s : Y argomento si presta perciò ad ulteriori sviluppi ( 3 ). 

 Non occorre poi avvertire che, per la massima parte, le costruzioni e i teoremi 

 indicati nel presente lavoro ne somministrano, in virtù del principio di dualità, 

 altrettanti che abbiamo creduto inutile di enunciare. 



1. Voglionsi costruire le coniche conjugate a una conica data K s e rispetto alle 

 quali un dato punto P è polo di una data retta r. Sia R il polo di r rispetto a 

 K s e le retta | PR | seghi K g nei punti A, B ; determiniamo i punti doppi della 

 involuzione quadratica \ P, R; A, B \ e sieno E, F: le coniche cercate sono le 

 due K g , K" ordinatamente conjugate a K s rispetto ad E, F. Infatti, il polo di r 

 rispetto a K è il conjugato armonico di R rispetto ad E, F cioè il punto P ( 4 ). 



Oss. Anche le due tangenti che arrivano a K s dal punto R, considerate come 

 rette doppie, sono coniche (degeneri) cbe risolvono il problema. 



2. a) Se P appartiene a K s , le due coniche K , K~ riduconsi alla tangente 



e f 



K s in P, considerata come retta doppia. 



b) Se r tocca K s , i due punti E, F cadono nel punto R di contatto e le 

 coniche cercate riduconsi alla r considerata come retta doppia. 



( x ) Di alcune proprietà delle coniche conjugate, Meni, del Prof. F. P. Ruffini (Acc. di Bologna. 

 IX,, 1888). 



( 2 ) Sopra una serie particolare di coniche, d' indice due (ibid. Y t , Gennaio 1884). — Osserva- 

 zioni analiUco-geometriche sulla proiezione imaginaria delle curve del 2° ordine, (ibid. VII 4 , 18S6). 



( 3 ) Meriterebbero p. es. speciale disamina il caso in cui la C* è dotata di punti multipli nei 

 punti (K 2 r) e quelli in cui essa ha con la conica -BT 2 uno o più contatti di ordine assegnato. 



(*) Ruffini, Di alcune proprietà delle coniche conjugate (Mem. dell' Acc. di Bologna IX 4 ) § 33. 



