— 656 — 



gono cioè K; ih è anche il luogo dei punti doppi delle involuzioni \ H, (rb) ; (K s b) \ 

 dove b denota un raggio variabile del fascio H; inoltre K s è il luogo dei poli 

 di contatto per le coniche conjugate a K"^ h e in rispetto alle quali r, li sono 

 una coppia di rette reciproche ; una qualunque delle due coniche K s : K] h è 

 anche il luogo dei poli di contatto delle coniche conjugate all' altra e in rispetto 

 alle quali E, H sono una coppia di poli armonici ('). 



Ogni retta condotta per R o per H sega il sistema delle due coniche K s , !C Th 

 in quattro punti armonici, due conjugati essendo sopra una stessa conica (•) : in 

 altre parole, se due coniche sono mutuamente associate rispetto agli assi r, h, i 

 poli E, H di r, h rispetto ad una di esse (a K a ) sono i poli di h, r rispetto al- 

 l' altra e il contravariante fondamentale del loro sistema si spezza in questa coppia 

 di poli. Abbiamo dunque il teorema: Se il contravariante fondamentale old sistema 

 di due coniche degenera in una coppia di punti, ognuna di esse è il luogo dei poli di 

 contatto per le coniche conjugate all' altra e in rispetto alle quali i due elementi del 

 contravariante sono una coppia di poli armonici. 



Se di due coniche associate 1' una è un cerchio ed uno degli assi di associa- 

 zione è la retta all' infinito del suo piano, 1' altra è un cerchio ortogonale al primo 

 e 1' altro asse di associazione è 1' asse radicale dei due cerchi ; si ha così una 

 nuova proprietà del sistema di due cerchi ortogonali : 



/ centri di due cerchi ortogonali sono una coppia di poli armonici per le coniche 

 conjugate a ognuno di essi rispetto ai punti dell' altro. — Può darsi anche una di- 

 mostrazione diretta e molto semplice dell' ultimo teorema. Sieno B, H i centri di 

 due cerchi ortogonali H s , K s ed A un punto ad arbitrio sulla H s : le rette | AB, |, 

 | AH\ seghino ulteriormente H s in p, x, sarà | px | ■= a la polare di A rispetto 

 a K s ; le polari di H rispetto alle due coniche iT*, K* segansi sulla a e sono 

 armonicamente separate da A, a ( 3 ), dunque, siccome la polare di H rispetto a 

 K s è la retta all' infinito, la polare di H rispetto a Kl sarà la parallela ed a 

 bisecante il segmento AX e passerà dunque per B. 



6. a) Se h passa per B la H s si spezza nelle due rette r, h : infatti le due 

 rette r, h, essendo reciproche rispetto a K s , i poli dell' una, rispetto alle coniche 

 conjugate a K s rapporto ai punti dell'altra, cadono su quest'ultima. 



b) Se delle due rette h, r la prima tocca K s in H, H s degenera nella 

 coppia di rette | HB' | , | HE' 1 |. Sieno infatti /?', p" ordinatamente conjugati ar- 

 monici di E\ E" rispetto ai due punti E, (| BE' |, h) e ai due E, (| EB" |, A), 

 cioè poniamo 



(\HB"\ABB'\) = p>, (\HB'\,\BB"\) = p": 



(') Cfr. A. Osservazioni analitico-geometriche sulla proiezione immaginaria ecc. § 9. (Jlem. del- 

 l' Àcc. di Bologna. VIIJ. 



( s ) Cfr. Steiner, Vorìesungen u. s. w. S. 338-339. 



( 3 ) A. Sulle coniche conjugate. Teor. XIII, (Meni, della E. Acc. di Bologna, VIJ. 



