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 gata a K 8 rispetto a P, e la K\ a , , associata a K 8 rispetto ad a, a' : le 4 coniche 

 cercate sono le conjugate a K s rispetto ai 4 punti d' intersezione delle due co- 

 niche Kl, Kl a , . 



Se sono invece date la coppia A, A' di punti reciproci e la coppia b, V di 

 rette reciproche ; i quattro poli di contatto (con K 2 ) delle coniche cercate, sono le 

 intersezioni di K* a , e K\ v . Analogamente si tratterebbero gli altri 5 casi. 



9. Date dunque, in un piano tv, una conica K 8 e una retta fissa r, si può 

 fare corrispondere ad ogni retta h del piano 7t una conica K^ h , che denoteremo 

 semplicemente con P/ s , la quale è il luogo dei poli di contatto con K 8 delle co- 

 niche conjugate a K 8 e tali che rispetto ad esse r, h sono reciproche. Teniamo 

 così a stabilire nel piano jt una trasformazione quadratica (non birazionale) in 

 virtù della quale le co 2 rette del piano sono trasformate in un sistema co* di 

 coniche Pt s , del quale occorre pi-ima di procedere oltre occuparsi, e che denomi- 

 neremo per brevità lo strato (IP). 



Cominciamo col determinare la caratteristica (i del sistema semplicemente in- 

 finito di coniche H s passanti per il punto P, sistema che diremo, per brevità di 

 discorso, il sistema (H*, P) : la caratteristica {i sarà eguale al numero delle coniche 

 del fascio, avente per punti base B,' B" , P e un nuovo punto Q, e tali che le 

 tangenti in B\ B" si seghino nel polo H rispetto a K 8 della retta | A' A" | che 

 unisce i due rimanenti punti di intersezione di K s con la conica del fascio ; ora 

 il luogo di questi poli H è evidentemente una retta, poiché le coppie di punti A, 

 A' sono in involuzione sulla K s e il luogo dei punti di concorso delle tangenti d'una 

 conica del fascio in P', B" è un'altra retta; dunque il punto cercato E è quello 

 comune a queste due rette e perciò fi = l. E poi evidente che il nostro sistema 

 (Pr, P) non contiene rette doppie e perciò A = 0, dunque il numero delle coniche 

 H 8 le quali passano per un punto dato P e toccano in oltre una retta data, ossia 

 la caratteristica v del sistema (H 8 , P) è eguale a 2. 



10. Ai medesimi risultati si arriva anche con F osservare che se, sulla | PB I 

 è P' il reciproco di P rispetto a K 8 le coniche del sistema (H 8 1 P) debbono pas- 

 sare, oltre che per P, P', B" anche per P' e perciò formando esse un fascio (j. = 1, 

 V = 2. Possiamo anche dire che le coniche dello strato (H s ) corrispondenti ai 

 raggi di un fascio di centro F, formano un fascio avente per punti-base P', B" 

 e i due punti doppi della involuzion \ P, P; (K 8 , \ FB [ ) (') ; questi punti-base si 

 possono anche determinare osservando che, se F' F" sono i punti di contatto delle 

 tangenti condotte a K 8 dal punto P", nel fascio vi sono due coniche degeneri, 

 corrispondenti ai due raggi | FF' | , FF" | , le quali si spezzano (v. n. 6. 6) ordi- 

 natamente nelle coppie di rette \F' R' \ , | P' P" | e | F" B' |, | F" B" | ; i punti 

 base del fascio son dunque, oltre P' P", i due punti 



(|P'P'|,|P"P"|), (|P'P" \,\F" B'\) 



C) Cfr. Ruffini, 1. cit. § 32. 



