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 fascio F(s t , s s ....), ve ne sono due (v. n. 13) che toccano la retta h: sieno S t g , S s 9 

 queste due coniche, S t; S s i loro punti di contatto con h ; s 1 , s s le loro rispet- 

 tive corde di contatto, con K s ; è chiaro che s y , s. 3 sono le tangenti che arrivano 

 ad H s dal punto F e i rispettivi punti di contatto sono le projezioni di S , S» , 

 fatte da i? ordinatamente sopra s y , s g : abbiamo così, mediante le 5 S , risoluto il 

 problema " condurre da un punto arbitrario le tangenti ad H s . „ 



21. Ora vogliamo indicare la generazione di H s mediante due fasci progettivi, 

 uno dei quali ordinario e 1' altro involutorio, in corrispondenza (1, 2) e situati 

 in posizione ridotta; (v. n. 22). Sia (fig. 3) A un punto variabile della li ed a, a! 

 i punti di contatto delle tangenti che arrivano da A a K s : dico che i due punti 

 ( | RA | ; | R'a | ) = o-, ( | RA |, | R'a' \) = a' giacciono sulla H s e perciò É* 

 è il prodotto dei due fasci R (A,....) ed R' (a, a' ;....) il secondo dei quali è chia- 

 ramente involutorio, perchè a, a' sono sopra K s conjugati nella involuzione di 

 polo H. Infatti condotta la | R' A | a segare ulteriormente la K s in /?, saranno 

 armonici i 4 punti a, oc', /?, R' e perciò armonico il gruppo aff'AR, che è la 

 prelezione del primo fatta da R' sopra | RA | ; ma anche i due punti y, d ove 

 la K s è segata da | RA | sono armonicamente separati, sulla K s , da a, a' dun- 

 que il gruppo ydaa' è pur armonico e era' sono i punti doppi della involuzione 

 \ y, d ; A, R \ cioè i punti (v. n. 3) della TP situati sulla | RA\. 



22. In generale il prodotto di due fasci di raggi in corrispondenza (1, 2), os- 

 sia di due fasci uno dei quali F è una involuzione lineare e 1' altro R una in- 

 voluzione quadratica proiettiva alla prima, è una curva del terz' ordine avente in 

 F un punto semplice ed in R un punto doppio ; ma per posizioni particolari dei 

 due fasci la cubica da essi generata può spezzarsi in una retta e una conica. 

 Supponiamo che al raggio | FR | comune ai due fasci, considerato come apparte- 

 nente al fascio F, corrisponda, nel fascio R, il raggio | RF\ medesimo, oltre ben- 

 inteso a un' altro raggio di R ; è chiaro che in questo caso il raggio | FR | for- 

 ma parte del luogo prodotto dei due fasci e la cubica si spezza in questa retta e 

 in una conica (cornea di riduzione) passante per R : diremo in questo caso, col 

 Wetr ('), che i due fasci F, R sono in posizione ridotta (reducirte lage). L' altro 

 raggio che, oltre al raggio | RI |, corrisponde ad | FR | nel fascio R, è la tan- 

 gente in R alla conica di riduzione ; i raggi di diramazione ( s ) di F sono, nel 

 caso della posizione ridotta, le tangenti che da F arrivano alla conica di ridu- 

 zione ; i raggi che projettano i punti di contatto di queste tangenti, dal punto R, 

 sono i raggi doppi del fascio involutorio R. 



(') Theorie der mehrdeutigen geometrischen Elementargebiìde u. der algehraischen Curven und 

 Fìàchen als deren Erzeugnisse., pag. 15 (Leipzig, Teubner 1369). 



( 2 ) Se una forma fondamentale F è in corrispondenza (1, 2) con una forma involutoria R, 

 diremo elementi dì diramazione di F quegli elementi cui corrispondono in R coppie di elementi 

 coincidenti, ossia cui corrispondono gli elementi doppi della forma involutoria : sono i Verzwei- 

 gungselemente del Weyr (loc. cit.). 



