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23. Ritorniamo ora ai due fasci R, R' considerati nel n. 21 : al raggio j RR' |, 

 considerato coinè appartenente al fascio (semplice) R 1 corrisponde nel fascio (iu- 

 volutorio quadratico) R' , il medesimo raggio | R' R |, oltre alla tangente, diversa 

 da | R'R |, che arriva a K* dal punto (| RR' \ , h) ; duuque i due fasci R, R! 

 sono in posizione ridotta e generano una cubica che si spezza nella retta I RR' I 

 e nella il 3 . I raggi di diramazione del fascio R son quelli che projettano da R 

 i due punti [K s h) ; i raggi doppi di R' son quelli che projettano gli stessi punti 

 (K~h) dal punto R' ecc. ecc. 



24. Abbiamo visto (n. 4) che se due coniche K s , H s sono mutuamente asso- 

 ciate rispetto a due assi h, r, il polo di r rispetto a una conica K°~ , conjugata a 

 K s in rispetto a un punto arbitrario A di H s , è il punto ( | RA |, h) = A' : 

 ciò posto, proponiamoci di costruire, mediante le H s : la conica S s , luogo dei poli 

 di una retta r, rapporto alle coniche che sono conjugate a K s rispetto ai punti 

 di una retta s, (v. n. 14). Cerchiamo i punti di S s situati sopra una retta arbi- 

 traria li : le coniche conjugate a K s e per le quali i poli di r cadono in h, son 

 quelle conjugate a K a rispetto ai punti di U 8 (associata a K s rispetto ad r, li) ; 

 questa U 2 seghi s in due punti A, B : le coniche K\ , K] della serie (S) son 

 quelle in rispetto alle quali il polo di r cade in h e i punti cercati sono dunque 

 i poli di r, rispetto alle R*l } K°~ ; ma questi poli sono ordinatamente le projezio- 

 ni, fatte da R sopra h, dei due punti A, B, dunque i punti del luogo S s posti 

 sulla retta arbitraria h sono ( | RA [, h) = A', ( | RB |, li) = B' ; ne segue che 

 ogni conica S s può anche essere generata mediante le H s nel modo seguente : 

 sia TT S la conica col-rispondente alla retta arbitraria h nello strato (H s ) ì ossia la 

 conica associata a K s rispetto ad h^ ?•; la S s è il luogo delle projezioni fatte da 

 R sulla /?, della coppia di punti (H s s). 



Oss. I. La S s sega r nei due punti (^,'s), essendo RI la conjugata a K s 

 rispetto ad R. 



Oss. II. Gli assintoti di S s si hanno projettando dal suo centro, i due punti 

 d' intersezione con s della conica associata a K s rispetto ad r ed alla retta al- 

 l' infinito ('). 



Oss. III. Se supponiamo che (invece di li) sia r la retta all' infinito e di più 

 K s sia circolo abbiamo il teorema : se due cerchi K s , H s sono ortogonali ed è h il 

 loro asse radicale, s una retta arbitraria del loro piano, le projezioni, fatte sopra li 

 dal centro R di K s , dei due punti (H*s) giacciono sulla conica che passa per R e 

 ha doppio contatto con K s sulla s. 



Oss. IV. La H s corrispondente alla reità s', tangente K s in uno dei due punti 

 (K*s) per es. in S' degenera (v. n. 6 b) ) nelle due rette | S'R' |, \S'R" |, per 



(') Questa conica è omotetica a K\ ha R per centro e tocca in R', R" le rette | R'H |, \R"H \, 

 essendo H il centro di K 2 . (v. n. 6, dj ). 



