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ciò i due punti (H 9 s') confondonsi in *S" e la s' tocca S s in s' ; come già sa- 

 pevamo. 



25. Facciamo ora descrivere ad h un fascio di raggi 0(h....): le corrispon- 

 denti H s y ... generano un fascio di coniche (*) le quali vengono segate da s in 

 coppie A, A' ;.... d' una involuzione quadratica ; il fascio semplice 0{h y ...) e quello 

 involutorio R (A, A' ;....) son progettivi e generano come loro prodotto la S s (e 

 la retta | RO | ). Si riconosce del resto facilmente che i due fasci suddetti 0, R 

 sono in posizione ridotta, poiché al raggio | OR [, considerato come appartenente 

 ad 0, corrispondono, nel fascio R, il raggio medesimo | RO | e la retta | R (rs) I : 

 i due fasci generano dunque una cubica la quale si spezza nella retta | RO | e 

 in una conica, che è la S a . I raggi di diramazione del fascio sono le tangenti 

 che arrivano a S s dal punto e i raggi doppi di R projettano da R i due punti 

 di contatto delle indicate tangenti. La retta | R (rs) | tocca S* in R. 



Oss. Assumendo per R\ R" i punti ciclici del piano di K s si arriva ad una 

 nuova generazione delle coniche mediante un cerchio ed un fascio di cerchi or- 

 togonali ad esso. Sia K s un cerchio di centro R ed 0(h,....) un fascio di raggi: 

 il fascio di cerchi che segano ortogonalmente K 8 sopra h,.... è segato da una 

 retta arbitraria s in una involuzione quadratica di punti A, A' ;.... e la interse- 

 zione dei due fasci projettivi 0(h....), R(A, A' ;....) è una cubica la quale si spezza 

 nella retta | OR | e in una conica S s che passa pel centro di K s è bitangente a 

 K s sulla s, ha per tangente in R la parallela ad s e per punti all' infinito quelli 

 dei raggi che projettano da R i due punti (K^s) } cioè quelli dei raggi che pro- 

 jettano da R i due punti d' intersezione della s col cerchio (imaginario se K s è 

 reale) coniugato a K s . 



26. Le considerazioni e i processi accennati nei § precedenti ci permettono di 

 risolvere le due questioni generali seguenti: 



a) Determinare il luogo H* dei poli di contatto delle coniche conjugate a 

 una conica data K s e per le quali i poli di una retta assegnata r cadono in una 

 curva piana algebrica C,", d' ordine n e di classe in. 



b) Determinare il luogo S dei poli di una retta data r, rapporto alle co- 

 niche conjugate a una conica data K s in rispetto ai punti di una curva alge- 

 brica CI. 



27. Sia, al solito, R il polo di r rispetto a K s : un raggio variabile a del 

 fascio R segherà C^ in n punti A J A s ...A h ...A n e la K s in due punti (K s a); se 

 ora prendiamo i punti doppi delle n involuzioni \ R, A k \ (K s a) \ (k = 1, 2,...», 

 otterremo 2n punti del luogo Hf situati sul raggio a. 



28. Vogliansi determinare in generale i punti del luogo giacenti sopra una 

 retta arbitraria s; costruiamo la S s , corrispondente ad s (cioè passante per R e 



( l ) I punti-base di questo fascio di coniche sono R', R" e i due punti doppi della involu- 

 zione j 0, R; {K\ \0R\) !"; (v. n. 10). 



