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 Denoti ora t una qualunque delle m tangenti che arrivano a C* dal punto R 

 e sia T il relativo punto di contatto : degli n punti (C* t) due coincidono in T e 

 perciò fra i punti di B " n+m situati sul raggio t ve ne sono 4 che cadono due 

 a due nei punti doppi 6 t , d s della 'involuzione \R, T ; (K z t)\ e la / è una tan- 

 gente doppia di B" , essendo d d , d s i suoi due punti di contatto. Le m tan- 

 genti che arrivano da R alla curva C* son dunque tangenti doppie di B 2n 

 e possiamo costruirne i punti di contatto con costruzioni quadratiche. 



37. Se assumiamo per curva C^ una conica abbiamo che : 



// luogo dei poli di contatto con K s delle coniche conjugate a K s e in rispetto alle 

 quali il polo di una retta data r cade in un'altra conica C B è una curva B del 

 quarf ordine , di ottava classe, avente in R\ R" due punti doppi ; passa pei 4 punti 

 (K S G 8 ) e tocca in questi punti le rette che li projettano da R ; i suoi dodici flessi sono 

 le proiezioni dei punti ove C s è toccata dalle coniche passanti per R ed aventi con C g 

 contatto tripunto, proiezioni fatte da R sulle carrispondenti tangenti nei punti di oscu- 

 lazione ; queste tangenti sono le l'i tangenti stazionarie di B g . Le due tangenti che 

 arrivano a C 8 dal punto R sono tangenti doppie di B g . 



Oss. Se assumiamo per r la retta all' infinito del piano di K s 1 la H diviene 

 la curva del quart' ordine indicata dal Ch.mo Prof. Ruffini ('),. la quale è dunque 

 della ottava classe, ha i due nodi nei punti all' infinito di K s , è toccata nei quattro 

 punti (K S C S ) dalle rette che li projettano dal centro di K s , ha fra le sue 8 tan- 

 genti doppie le tangenti che arrivano a C s dal centro di K s ; i suoi 12 flessi sono 

 ecc. ecc. 



Se C s è un cerchio di centro R la H. è bicircolare ecc. ecc. 



o 



38. Quando la curva CZ ha relazioni speciali di posizione con K s , R, può 

 succedere che il luogo H' y si spezzi in altri di grado minore ; supponiamo per es. 

 che C s sia bitangente a K s sulla r : se sopra ogni raggio variabile a del fascio R 

 segante C 2 in A £ì A prendiamo i punti doppi delle involuzioni 



\R,A r , (E s a) | , i JJ, A, ; (K*a) \ 



abbiamo i quattro punti del luogo B y giacenti sulla a (v. n. 27), ma questi 4 

 punti appartengono anche a due coniche U s , V s , aventi con K s doppio contatto 

 sulla r, e che sono inoltre polari reciproche rispetto a K s (e a K r ) dunque, nel 

 caso considerato, il luogo si spezza nelle due coniche U s , V s ( 2 ). 



Oss. Ricordando ora la generazione di B* mediante le S s possiamo anche 

 dire che : 



Una conica bitangente a K s sulla retta variabile s e passante per R sega un'altra 



0) Meni, cit, § Si. 



RuFFiNi, loc. cit. pag. 38. 



