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Quanti punti del luogo £.! cadono in una retta arbitraria h? Le coniche con- 

 iugate a K 8 e rispetto alle quali i poli di r cadono in h son quelle conjugate 

 a K s in rispetto ai punti della conica H 8 , associata a K 8 rispetto ad r, A; sieno 

 H , H s ,..~ H 0n i punti comuni ad H s , C n m : le coniche conjugate a K s rispetto a 

 questi 2w punti son tali che, rispetto ad esse, i poli di r cadono in h e i punti 

 cercati sono i poli di r rispetto a queste 2n coniche ossia (v. n. 15) sono le 

 projezioni dei punti H fatte da R sopra la retta h. Il nostro luogo è dunque 

 d' ordine 2n, % = 2n. 



Oss. La determinazione del grado £ della #* può anche farsi nel modo se- 

 guente : le coniche conjugate a K 8 rispetto ai punti della curva C r " formano una 

 serie semplicemente infinita che è d'indice 2n (*;; in questa serie vi sono 2n 

 coniche degeneri e cioè le 2n tangenti a K 8 nei punti ove essa è segata da C^ , 

 considerate come rette doppie. Il luogo dei poli di una retta r rispetto alle coniche 

 della serie è dunque in generale una curva dell'ordine 4«, ma siccome questo 

 luogo contiene nel nostro caso come parti le n rette doppie sopra indicate, il suo 

 grado si abbassa sempre a 2n. Si può anche seguire il processo generale : cer- 

 chiamo quanti punti del luogo giacciano sulla r, ossia quante coniche della serie 

 toccano r, giacché se una conica della serie tocca r il polo di questa retta rispetto 

 ad essa è in r ; ora di coniche della serie toccanti r ve ne sono 2», vale a dire 

 quelle conjugate a K s in rispetto ai 2n punti (C^ K r ) intersezioni di C'^ con 

 la conica K,. , conjugata a K 8 rispetto ad r; dunque il luogo è di ordine 2?? e i 

 suoi punti giacenti in r, sono le projezioni da R sopra r dei punti comuni a C* 

 e alla conica conjugata a K 2 rispetto ad r. Quest' ultima parte del teorema è 

 anche evidente perchè, quando h coincide con r, la H 8 diviene appunto K r 

 (v. n. 6 e^). 



42. Descriva ora h un fascio (h, h ìV ...) di raggi col centro arbitrario 0: 

 le IP corrispondenti descrivono (v. n. 10) un fascio di coniche, projettivo al primo, 

 le quali segano la curva C n m in gruppi di 2n punti e la S^ sarà il luogo delle 

 intersezioni dei raggi del fascio coi gruppi di 2n raggi projettanti da R i cor- 

 rispondenti gruppi (C] l H H s ). 



43. Per determinare la classe ^ della curva S " cerchiamo quante tangenti 

 le arrivano dal punto arbitrario 0: a un raggio variabile h del fascio (A, h { ,....) 

 corrisponde, come sappiamo, una conica variabile IT* di un fascio di coniche; fra 

 le coniche di questo fascio ve ne sono 2n -+- m aventi contatto semplice con C", (*) : 

 sia H s una di queste 2n -+- m coniche, E il suo punto di contatto cen C", ; fra 

 i 2n punti d'intersezione di H 8 con C™ ve ne sono due riuniti in H e perciò 



(') Infatti le coniche della serie, che passano per un punto dato A, sono le 2«, conjugate a 

 iP rispetto ai punti d' intersezione della curva C" n con la conica conjugata a K ~ rispetto ad A. 

 (V. Sopra una serie ecc. § 8). 



( ! ) Le caratteristiche fi, v del sistema elementare fascio sono 1, 2 e perciò [xwi -t- vré == m-i- 2n. 

 (V. Zeuthen, loc. cit. § 17). 



